¿Puede todo espacio topológico de Hausdorff estar incrustado homeomórficamente en un espacio vectorial topológico?

Question

Es cierto que para cualquier espacio métrico, podemos incrustarlo isométricamente en un espacio de Banach, de modo que la imagen del espacio métrico por esa incrustación es un conjunto linealmente independiente.

¿Es cierto el teorema análogo para los espacios topológicos? A menudo se requiere que los espacios vectoriales topológicos sean Hausdorff, así que con esa definición el teorema sólo podría ser potencialmente cierto para los espacios topológicos que también son Hausdorff.

Así que, para que quede claro lo que quiero decir, reformulando el título. Dado un espacio topológico $ (X, \tau) $ ¿es posible encontrar un espacio vectorial topológico $ V $ y una incrustación (homeomórfica en la imagen) $ f:X \rightarrow V $ tal que $ f(X) $ es un subconjunto linealmente independiente de $ V $ ? ¿O podemos al menos debilitar de alguna manera esta afirmación para que sea cierta?

Answer 1

Cualquier espacio topológico completamente regular (Hausdorff) puede estar inmerso en $\mathbb{R}^J$ para algún conjunto de índices $J$ que es un espacio vectorial topológico. De hecho, esto es cierto si y sólo si un espacio topológico es completamente regular. Por tanto, cualquier espacio topológico de Hausdorff que no sea completamente regular no puede estar inmerso en un espacio vectorial topológico sobre los reales.

Answer 2

No es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario:

El comentario de Matt Samuel no es del todo cierto: aquí hay una incrustación (=mapa que es un homeomorfismo sobre su imagen) de $[0, 1]$ en un espacio vectorial topológico sobre $\mathbb{R}$ cuya imagen es linealmente independiente:

El espacio es $V=\prod_\mathbb{R}\mathbb{R}$ - elementos de $V$ son mapas $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ con la suma y la multiplicación escalar definidas de forma obvia.

La incrustación viene dada por lo siguiente. Para un real $r$ , dejemos que $[\cdot]_r: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea la función tal que si $s\le r$ entonces $[s]_r=r-s$ y si $s>r$ entonces $[s]_r=0$ . Nuestra incrustación, entonces, es la siguiente:

$$x\mapsto "y\mapsto [y]_x."$$

Es fácil comprobar que se trata de una incrustación topológica, y que su imagen es un subconjunto linealmente independiente de $V$ .