Cómo determinar la solución a partir de variables en Power

Question

Hoy, mientras estudiaba el método de perturbación para resolver ecuaciones polinómicas, he visto un problema, aquí voy a escribir los pasos donde tengo el problema $$\epsilon^{1-3p}x_o^3 = \epsilon^{-p}x_o$$ El siguiente paso es, que no entendí, cómo reducen la ecuación anterior a esto $$1-3p=-p \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to (A)$$ El problema anterior lo enfrenté cuando el autor/mi profesor estaba tratando de hacer una perturbación singular para encontrar la raíz de una ecuación polinómica $\epsilon x^3 -x+1=0$ y aquí consideraron una sustitución general $x=\frac{x_o}{\epsilon^p}$ para la perturbación singular y después de poner esta sustitución en la ecuación polinómica dada, llegaron a la ecuación anterior $(A)$ donde estoy confundido

Ahora tengo otro problema que no está resuelto y en el que estoy obteniendo el mismo problema pero no puedo manejarlo porque no existe una ecuación del tipo de la anterior sino con un término extra que es $$\epsilon x^4 - x^2+3x-2+\epsilon=0$$ y después de utilizar la sustitución $x=\frac{x_o}{\epsilon^p}$ Me sale $$x_o^4\epsilon^{1-4p} - x_o^2\epsilon^{-2p}+3x_o\epsilon^{-p}-2+\epsilon=0$$ Y en mi opinión los términos dominantes deberían ser $$x_o^4\epsilon^{1-4p} - x_o^2\epsilon^{-2p}+3x_o\epsilon^{-p}=0 \ \ \ \ \ \to (2)$$ Donde he eliminado los valores más pequeños $-2+\epsilon$

Ahora, en la última ecuación, estoy confundido o debo considerar sólo $2$ término dominante para resolver la ecuación anterior para $p$ o puede haber más términos y mi pregunta prioritaria es que cómo podemos resolver la ecuación anterior $(2)$ para $p$ ¿qué es lo que está en el poder?

Answer 1

Así que, después de estudiar más sobre mi problema anterior casi llegué a mi respuesta y ahora voy a compartir alguna cantidad relacionada con mi propio problema.

En la pregunta anterior donde viene el problema para la solución de la ecuación para la variable $p$ en exponentes es Solución de los exponentes de la Función Gauge que obtengo de estas notas Expansión de Perturbación Singular para Polinomios Ver página 5 Medidores indeterminados que es exactamente mi problema. La ecuación del problema anterior es $$ϵ^{1−3p}x_o^3=ϵ^{−p}x_o$$ Donde resolvemos para $p$ igualando todos los pares posibles de exponentes de la Función Gauge. Como en esta ecuación sólo tenemos un caso que es $$1-3p=-p$$ Así que como siguiente en la pregunta añadí otra ecuación que tiene más términos donde mi pregunta era que cómo podemos resolver para $p$ (en exponentes) si tengo términos más de 2 términos entonces aquí es answere

Por muchos plazos que tengamos, tendremos que resolver más casos. Como en la ecuación $(2)$ de la pregunta $$x_o^4\epsilon^{1-4p} - x_o^2\epsilon^{-2p}+3x_o\epsilon^{-p}=0$$ Tenemos 3 términos por lo que resolveremos todos los casos posibles para $p$ P igualando todos los posibles pares de exponentes de la función gauge y aquí obtendremos 3 casos

Caso I: $1-4p = -2p$

Caso II: $1-4p = -p$

Caso III: $-2p = -p$

Así que en estos 3 casos, el caso que consideramos en el que se eliminará el comportamiento singular, es decir, donde tendremos $\epsilon$ en una sola legislatura.