Este problema surgió en un curso de geometría algebraica que estoy tomando, y mi comprensión del mismo proviene de "Geometría Algebraica Básica" de Shavarevich. La cuestión es la siguiente: Dada una variedad proyectiva $$X = V(y^2z - x^3 - xz^2)$$ y un divisor $D = 2[0:0:1]$ encontrar una base para $\mathcal{L} (D)$ . Es decir, estoy tratando de encontrar un mapa racional correspondiente a $D$ que me permite construir cualquier otro mapa a partir de $X$ correspondiente a $D$ componiéndolo con varios mapas de proyección. Estoy trabajando sobre $\mathbb{C}$ .
Este es mi enfoque:
Una base de funciones racionales $\{f_0, \cdots , f_r\}$ para $\mathcal{L} (D)$ debe satisfacer $div(f_i) + D \geq 0$ . Por lo tanto, es necesario que cualquier $f$ para tener un polo en el infinito con multiplicidad 2. Si escribo cualquier $f$ como cociente de formas 1, el teorema de Bézout va a dar que tendremos otro polo de $f$ por lo que tiene que cancelarse con un cero en el numerador.
Luego encontré los divisores de diferentes formas 1 en x, y y z, lo que realmente equivalía a encontrar $div(x), div(y), div(z)$ entonces utilizando las propiedades de las valoraciones para concluir que, si el denominador es una forma 1, tiene que ser $x$ , ya que sólo $div(x)$ tiene el punto en el infinito con multiplicidad 2. Es decir, $$div(x) = 2[0:0:1] + [0:1:0].$$ Entonces encontré que las únicas funciones racionales en $k(X)$ que están en $\mathcal{L} (D)$ son de la forma $$f = \frac{az + by}{x}$$ y así una base para $\mathcal{L} (-D)$ es $\{ f_1 = \frac{z}{x}, f_2 = 1\}$ de ahí que encontremos nuestro mapa racional de $X$ asociado a $D$ es $$\phi = [f_1: f_2].$$ Podemos despejar el denominador para tener entonces $$\phi = [z:x].$$
¿Es esto correcto? Es la primera vez que intento construir un mapa racional de este tipo a partir de un divisor, así que no estoy seguro de que el proceso haya sido correcto. Estoy preocupado porque esto no está definido en $[0:1:0]$ y esperaba que se definiera en todas partes en X.
Saludos,
Granate
EDIT: Voy a mostrar cómo he encontrado $div(x)$ utilizando el teorema de Bézout. Los puntos de intersección de $V(y^2z - x^3 - xz^2)$ con $V(x)$ se ven fácilmente $[0:0:1]$ y $[0:1:0]$ . Utilizando el teorema de Bézout, sé que X y $V(x)$ tienen que intersecarse en tres puntos con multiplicidad. Encontraré la multiplicidad de intersección de $[0:1:0]$ :
Para ello, voy a intersecar tanto X como $V(x)$ con el conjunto abierto $U_y = \{[x:1:z]\}$ y trabajar en el espacio afín. En particular, $$X \cap U_y = V(z-x^3-xz^2)$$ y $V(x) \cap U_y$ es sólo $V(x)$ ; entonces considero el punto $p = (0,0)$ .
Porque la tangente a $X \cap U_y$ viene dada por la línea $z=0$ y $X \cap U_y$ es no singular en $(0,0)$ concluyo que el ideal máximo del anillo local de $X \cap U_y$ en p es $$\mathfrak{M}_p(X\cap U_y) = (x)$$ . De esto es fácil ver que la multiplicidad de intersección de $X\cap U_y$ con $V(x)$ en $(0,0)$ es sólo 1, por lo que la multiplicidad de intersección de $X$ con $V(x)$ en $[0:1:0]$ es 1. Por el teorema de Bézout, puedo concluir inmediatamente que la multiplicidad de intersección de $X$ con $V(x)$ en $[0:0:1]$ es 2, por lo que $$div(x) = 2[0:0:1] + [0:1:0]$$ .
Un cálculo similar muestra que $div(z) = 3[0:1:0]$ y así $$div(\frac{z}{x}) = div(z) - div(x) = 2[0:1:0] - 2[0:0:1].$$
