Demostrar que existe al menos $n$ ceros de $f$ en el intervalo abierto $(a,b)$

Question

Supongamos que $f\in [a,b]$ y $\int_a^b f(x)x^k\,dx=0$ , $\quad k=0$ , $1$ , $\ldots$ , $n-1$ . Demostrar que existe al menos $n$ ceros de $f$ en el intervalo abierto $(a,b)$ .

Sé que si $n=1$ no es más que el teorema del valor medio integral.

Answer 1

Suponiendo que $f$ tiene como máximo $n-1$ ceros. Esto significa que $f$ tiene ceros aislados.

A continuación, consideramos los ceros donde $f$ cambian de signo, es decir, todos los puntos $x_0$ tal que $f(x_0)=0$ , $f(x_0-\epsilon)f(x_0+\epsilon)<0$ para cualquier cantidad suficientemente pequeña de $\epsilon>0$ . El número de esos puntos es como máximo $n-1$ . Suponemos que los puntos son $x_1,x_2,\ldots,x_m$ , $m\leq n-1$ .

Entonces podemos considerar $\int_a^b f(x)g(x)d x$ , donde $g(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_m)$ . Por supuesto $\int_a^b f(x)x^k=0$ tenemos $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$ .

Por otra parte, dado que $f$ sólo cambian las señales en $x_i$ sabemos que $f(x)g(x)\geq 0$ siempre se mantiene, o $f(x)g(x)\leq 0$ siempre se mantiene.

Esto implica que $f=0$ una contradicción.