Forma cuadrática no degenerada $Q$ en $n$ variables con coeficientes en $F_p$ , la cardinalidad de $\{x \in (\mathbb{F}_p)^n : Q(x) = 0\}$

Question

Hay un libro de teoría algebraica de números que estoy leyendo que muestra el siguiente teorema.

Dejemos que $Q$ sea una forma cuadrática no degenerada en $n$ variables con coeficientes en $F_p$ ( $p \neq 2$ ). Entonces $$\text{Card}\{x \in (\textbf{F}_p)^n : Q(x) = 0\} = p^{n-1} + \epsilon(p-1)p^{{n\over{p}} - 1},$$ donde $$\epsilon = \begin{cases} 0 & \text{ if }n \text{ is odd,} \\ \left({{(-1)^{n\over2} D_Q}\over{p}}\right) & \text{ if }n \text{ is even.}\end{cases}$$

En la prueba, está la afirmación de que $$pN = \sum_{a = 0}^{p-1} \sum_{x \in \textbf{F}_p^n} \text{exp}\left({{2\pi iaQ(x)}\over{p}}\right),$$ donde $N$ es la cardinalidad en el enunciado del teorema. No veo por qué se cumple esta igualdad. ¿Podría alguien ayudarme?

EDIT: Alguien me había enlazado una prueba, pero de nuevo, esa prueba no aclara el paso que he señalado como no comprendido...

Answer 1

El punto clave es que para cualquier $y$ :

$\sum_{a=0}^{p-1}\exp\left( \frac{ 2\pi i y}{p}\right)=\begin{cases} p & \text{ if }y=0 \\ 0 & \text{ if }y \neq 0\end{cases}$

Sólo hay que cambiar el orden de la suma y enchufarlo.

Esta identidad es consecuencia de la suma de una serie geométrica.