Utilizar la cadena de Markov en lugar de la probabilidad total

Question

Esta pregunta me la dieron como repaso para un próximo examen:

Si un equipo de béisbol gana un partido, tiene un 40% de posibilidades de ganar el siguiente por exceso de confianza. Si pierden el anterior vino, hay un 70% de que ganen el siguiente partido. Supongamos que en el primer partido hay un 50% de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo gane el cuarto partido?

¿Hay alguna forma de hacerlo sin utilizar la probabilidad total?

Hasta ahora he sumado todos los 8 escenarios que resultan en una victoria en el cuarto juego para obtener una respuesta, pero estoy pensando que hay una manera de hacer esto usando la multiplicación de la matriz en lugar de la probabilidad total.

Answer 1

Sí, tienes razón. Si el estado $1$ es ganar y el estado $2$ es la pérdida, entonces la matriz de transición es $$P=\begin{bmatrix}.4&.6\\.7&.3\end{bmatrix}$$ Las probabilidades después de $4$ juegos están dados por $$\begin{bmatrix}w\\l\end{bmatrix}=P^4\begin{bmatrix}.5\\.5\end{bmatrix}$$ donde $w$ y $l$ son las probabilidades respectivas de que el cuarto partido sea una victoria o una derrota.

Si miras la multiplicación de matrices, verás que implica exactamente los mismos cálculos que ya has hecho. Sin embargo, puedes acortarlo elevando al cuadrado $P$ dos veces. Esto eliminaría una multiplicación de la matriz.