Aplicación de las formas diferenciales a los no vectores $\omega(X,Y)$

Question

$\omega=2xdx\wedge dy + y^2dx\wedge dz$

$X=x^2y\frac{\partial}{\partial y} + x\frac{\partial}{\partial z}$

$Y=x\frac{\partial}{\partial y}$

Calcular $\omega(X,Y)$

Entiendo cómo aplicar la forma diferencial sobre parámetros dados vectores $(v1,v2)$ donde se toma el determinante. ¿Realizaría lo mismo para esta operación?

Estoy probando esto, pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí. ¿Debo tomar los parciales como cada parámetro?

$2xdet\begin{bmatrix} 0&0\\ x^2y&x\\ \end{bmatrix} + y^2det\begin{bmatrix} 0&0\\ x&0\\ \end{bmatrix} = 0$

He buscado en las formas diferenciales de Do Carmo, y en los campos vectoriales y formas diferenciales de Faris, pero no he podido encontrar una explicación o un ejemplo.

Answer 1

Deseamos calcular: $$\omega(X,Y) = (2xdx\wedge dy+y^2dx\wedge dz)(x^2y\partial_y+x\partial_z,x\partial_y).$$ Para el primer término, $$2x[dx(x^2y\partial_y + x\partial_z)dy(x\partial_y)-dy(x^2y\partial_y + x\partial_z)dx(x\partial_y)] = 2x(0-0)=0.$$

Así que la respuesta final es sólo el segundo término, que es $$y^2[dx(x^2y\partial_y + x\partial_z)dz(x\partial_y)- dz(x^2y\partial_y + x\partial_z)dx(x\partial_y)] = y^2(0-x\cdot0) = 0.$$ Así que el conjunto es cero (a no ser que me haya equivocado, en cuyo caso, por favor, comentadlo). Espero que esto aclare el método - con la práctica, deberías ser capaz de hacer estos cálculos rápidamente (saltando el LHS y sólo escribiendo los términos medios y finales).

Answer 2

Tu frase "aplicar la forma diferencial sobre los parámetros" sugiere que no eres consciente del isomorfismo $T_p(\Bbb R^n) \cong \Bbb R^n$ . Esta correspondencia explícita significa, por ejemplo, que $$T_{(x,y,z)}(\Bbb R^3) \ni x^ 2y \partial_y + x\partial_z \stackrel{\cong}{\mapsto} (0, x^2y, x) \in \Bbb R^3,$$ y de forma similar para $Y$ . En otras palabras, si se sabe evaluar $\omega$ en $(0,x^2y,x)$ y $(0,x,0)$ entonces ya sabes cómo evaluarlo en $x^2y\partial_y+x\partial_z$ y $x\partial_y$ no hay excusa. A saber, $\{{\rm d}x, {\rm d}y, {\rm d}z\}$ es dual con $\{\partial_x,\partial_y,\partial_z\}$ para que tengas ${\rm d}x(\partial_x) = 1$ , ${\rm d}x(\partial_y) = 0$ etc. Así que $$\begin{align} \omega(X,Y) &= 2x({\rm d}x\wedge {\rm d}y)(X,Y) + y^2({\rm d}x\wedge {\rm d}z) \\ &=2x \begin{vmatrix}{\rm d}x(X) & {\rm d}x(Y) \\ {\rm d}y(X) & {\rm d}y(Y) \end{vmatrix}+ y^2\begin{vmatrix} {\rm d}x(X) & {\rm d}x(Y) \\ {\rm d}z(X) & {\rm d}z(Y) \end{vmatrix} \\ &= 2x \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ x^2y & x\end{vmatrix} + y^2 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ x & 0\end{vmatrix} \\ &= 0.\end{align}$$