Desaparición de $\varprojlim^1$ en la historia de las secuencias Mittag-Leffler.

Question

Estoy tratando de aclararme en algunos puntos sobre la historia del primer functor derivado $\varprojlim^1$ del functor límite proyectivo que desaparece en algún tipo de sistemas inversos filtrados en categorías abelianas (completas) arbitrarias (con suficientes injectivos). Me interesa el caso de las torres (sistemas inversos contables), por lo que el conjunto de índices será el conjunto de enteros no negativos. Diré que un sistema inverso de objetos $\{A_i,f_{i}\}$ (donde $f_{i}:A_{i+1} \rightarrow A_i$ , para $i \geq 0$ ) en una categoría abeliana

• es M(ittag)L(effler) si para cualquier $i$ existe $j \geq i$ tal que $Im(A_k \rightarrow A_i)=Im(A_j \rightarrow A_i)$ para todos $k \geq j$ (como en Weibel);

• es epi si todos los mapas $f_{i}$ son suryentes (lo que es la "secuencia de Mittag-Leffler" en Roos y Neeman);

• es pro-zero si para cualquier $i$ existe $j \geq i$ tal que el mapa $A_j \rightarrow A_i$ es el mapa cero.

Los dos últimos son casos particulares del primero. Además, un sistema inverso ML encaja como término medio en una secuencia exacta corta donde el primer término es un sistema epi (el sistema inverso $\{f_{n}(A_{n+1})\}$ ) y el último es pro-cero (el sistema inverso de cocientes).

Ahora, sé que Roos demostró, 40 años después de su primera declaración errónea, que $\varprojlim^1$ desaparece en las torres epi cuando la categoría es abeliana, satisface (AB3) y (AB4*) y tiene un generador. Mi pregunta es si $\varprojlim^1$ ¿también desaparece en las torres ML en esta configuración?

También habría que tener el desvanecimiento en los sistemas pro-cero para concluir eso, pero ¿en qué escenario ocurre eso?

Por cierto, sé que todo esto funciona en categorías de módulos. También he oído en alguna parte, pero no puedo averiguarlo, que en el caso particular de las torres, la condición ML es equivalente a la condición epi en algún sentido. ¿Puede alguien ayudarme a aclarar todo?

Answer 1

Supongo que tienes conocimientos básicos sobre las categorías profesionales. Si $\mathbf{C}$ es una categoría, entonces $\mathbf{pro\text{-}C}$ denota su pro-categoría, que es la categoría de todos los sistemas inversos en $\mathbf{C}$ . Sólo se considera la subcategoría completa $\mathbf{tow\text{-}C}$ de torres, es decir, sistemas inversos indexados por los enteros. Consideremos el caso de que $\mathbf{C}$ es la categoría de grupos abelianos. Creo que el caso de una categoría abeliana general puede tratarse de forma similar.

Dejemos que $A = (A_i,f_i)$ sea una torre. Entonces es fácil demostrar que $A$ satisface (ML) si es isomorfo en $\mathbf{tow\text{-}C}$ a un sistema $A'$ satisfactorio (epi). Además, $A$ satisface (pro-cero) si es isomorfo en $\mathbf{tow\text{-}C}$ al sistema trivial $0$ compuesto únicamente por objetos cero. El primer límite derivado es, de hecho, un functor sobre $\mathbf{pro\text{-}C}$ lo que explica que desaparezca si $A$ es ML.

A continuación se indican algunas referencias en las que puede encontrar material sobre $\mathbf{pro\text{-}C}$ :

Edwards, David A., y Harold M. Hastings. Cech and Steenrod homotopy theories with applications to geometric topology. Vol. 542. Springer, 2006.

Geoghegan, Ross. Topological methods in group theory. Vol. 243. Springer Science & Business Media, 2007.

Mardesic, Sibe. Strong shape and homology. Springer Science & Business Media, 2013.

Y por supuesto la obra de Grothendieck.

Añadido: Prueba de que $A$ siendo (ML) implica $A$ isomorfo a $A'$ satisfactorio (epi).

Por definición, las imágenes de $A_j \to A_i$ "estabilizar" para cada $i$ . Esto implica que podemos construir una función estrictamente creciente $u : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $im(f_i^k) = im(f_i^{u(i)})$ para todos $k \ge u(i)$ . Aquí $f_i^k = f_i \circ ... \circ f_{k-1} : A_k \to A_i$ . Establecer $A'_i = im(f_i^{u(i)}) \subset A_i$ . Claramente $f_i(A'_{i+1}) = f_i(f_{i+1}^{u(i+1)}(A_{u(i+1)})) = f_i^{u(i+1)}(A_{u(i+1)}) = f_i^{u(i)}(A_{u(i)}) = A'_i$ que muestra que el $f_i$ restringir a los epimorfismos $f'_i : A'_{i+1} \to A'_i$ . Por lo tanto, $A' = (A'_i,f'_i)$ es un sistema inverso tal que las inclusiones $\alpha_i : A'_i \to A_i$ forman un morfismo de nivel $\alpha$ entre sistemas inversos. Su inversa en la pro-categoría viene dada por $\beta = (u,\beta_i)$ con $\beta_i= f_i^{u(i)} : A_{u(i)} \to A'_i$ . La función $u$ es la "función índice"; tenemos $\beta_i \circ f_{u(i)}^{u(i+1)} = f'_i \circ \beta_{i+1}$ . (La prueba de que $\alpha$ y $\beta$ son inversos entre sí es muy fácil).

Añadido: Como hemos visto, basta con demostrar que $\varprojlim^1$ es un functor sobre $\mathbf{\text{pro-C}}$ (incluso bastaría con tenerlo en $\mathbf{\text{tow-C}}$ ). Una vez hecho esto, podemos concluir que $\varprojlim^1$ desaparece en secuencias (ML) si desaparece en secuencias (epi). Esto último fue demostrado por Roos (bajo ciertos supuestos sobre $\mathbf{C}$ ).

En la sección 6 del documento

Duskin, J. "Pro-objetos (después de Verdier)". Dualidad de Poincaré (Seminario Heidelberg-Estrasburgo 1966/67), IRMA Estrasburgo 3 (1969)

el autor considera los funtores derivados de $\varprojlim : \mathbf{\text{pro-C}} \to \mathbf{C}$ . Si $\mathbf{C}$ satisface (AB4 $^\ast$ ) y tiene suficientes injectivos, demuestra la existencia de funtores límite derivados que viven en $\mathbf{\text{pro-C}}$ . Véanse los argumentos después del Teorema 6.1.

Con respecto a $\mathbf{\text{pro-C}}$ como ocurre en este documento puede ser útil consultar

Porter, Timothy. "Propiedades esenciales de los pro-objetos en las categorías de Grothendieck". Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques 20.1 (1979): 3-57

Ofrece una interpretación alternativa de $\mathbf{\text{pro-C}}$ que en mi opinión es "más accesible". Véase la página 9 del documento de Porter.