Probabilidad de bolsa vacía de bolas

Question

Tienes dos bolsas, la bolsa 1 tiene m bolas, y la bolsa 2 tiene n bolas. Sacas una bola de una bolsa con una probabilidad del 50% hasta que una bolsa esté vacía. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolsa 1 esté vacía?

Intenté dibujar algunos árboles de probabilidad pero no puedo encontrar una fórmula general. Veo que hay algo como $\frac{1}{2}^m +(m-1)\frac{1}{2}^{m+1}+...$

Answer 1

Por lo tanto, pensemos en este problema paso a paso. Denotemos $A$ al evento de sacar de la bolsa $1$, y $B$ al evento de sacar de la bolsa $2$. Debemos obtener ya sea $m$ veces seguidas $A$, o $m$ veces $A$ y $1$ vez $B$, $\cdots$, o $m$ veces $A$ y $n-1$ veces $B$, pero lo importante es que la secuencia siempre debe terminar en $A$. Ahora, si asumimos que no hay orden, la probabilidad de obtener $m$ veces $A$ y $k$ veces $B$ sería $\frac{1}{2^k} \times \frac{1}{2^m}$. Pero hay un orden. Digamos que $n=2$, $m=3$. Podemos obtener algo como $AAA$, o $BAAA$, o $ABAA$, o $AABA$. Para encontrar el número de combinaciones posibles con $k$ eventos $B$, simplemente piénsalo como elegir $k$ posiciones para $A$ entre $m+k-1$ opciones. Entonces $\binom {m+k-1}{k}$

La probabilidad es entonces $$p = \sum_{k=0}^{n-1} \binom {m+k-1}{k}\frac{1}{2^{k+m}}$$

Answer 2

Una forma de resolver es por medio de la ecuación de recurrencia:

$$p(m,n)=\frac12\cdot p(m-1,n)+\frac12 \cdot p(m,n-1)$$

por la tabla

$$\begin{array}{c|cc} m\backslash n&0&1&2&3&4&...\\ \hline 0&-&1&1&1&1\\ 1&0&\frac12&\frac34&\frac78&\frac{15}{16}&...\\ 2&0&\frac14&\frac12&\frac{11}{16}&\frac{13}{16}&...\\ 3&0&\frac18&\frac5{16}&\frac12&\frac{21}{32}&...\\ ...&...&...&...&...&...&...\\ \end{array}$$

nota que cada elemento es la combinación del elemento arriba más el elemento a la izquierda.