Dejemos que $X$ sea un espacio normado y $Y\subseteq X$ sea un subespacio con $\ell\colon Y\to\mathbb{R}$ . Entonces existe $L\colon X\to\mathbb{R}$ tal que $L$ es lineal, $L(y)=\ell(y)$ por cada $y\in Y$ y $\|L\|_{X^*}=\|\ell\|_{Y^*}$
Sé cómo obtener la función $L\colon X\to\mathbb{R}$ con $L$ es lineal y $L(y)=\ell(y)$ por cada $y\in Y$ considerando la función $p\colon X\to\mathbb{R}$ definido por $p(x):=\|\ell\|_{Y^*}\|x\|$ y aplicando el teorema de Hahn-Banach. Además, como $$ \{\ell(y):y\in Y\}\subseteq\{L(x):x\in X\}, $$ Veo que $\|\ell\|_{Y^*}\leq\|L\|_{X^*}$ . Sin embargo, no veo cómo conseguir la desigualdad inversa, es decir, $\|\ell\|_{Y^*}\geq\|L\|_{X^*}$ .
Sé que $L(x)\leq p(x)=\|\ell\|_{Y^*}\|x\|$ . Me gustaría decir que $|L(x)|\leq p(x)$ pero no creo que esto sea cierto.
EDITAR : En mi texto, el teorema de Hahn-Banach produce una función $L\colon X\to\mathbb{R}$ con $L(x)\leq p(x)$ para cada $x\in X$ . Sin embargo, en Wikipedia, dice que el teorema de Hahn-Banach produce una función $L\colon X\to\mathbb{R}$ con $|L(x)|\leq p(x)$ para cada $x\in X$ . Si esto último es correcto, entonces es inmediato. ¿Cuál es la correcta?
