$A_{i,j}B_{i,j}$ ¿es el producto matricial en notación de Einstein?

Question

Leer un libro de ingeniería se detuvo en esta afirmación "el producto de punto de la matriz es $\sum_{i,j \in I} A_{i,j} B_{i,j} := A_{i,j} B_{i,j}$ en notación Einstein". Lo siento, pero ¿qué significa realmente? Nunca he leído sobre el producto punto matricial, más bien sobre el producto punto vectorial de columna (pero el libro generalizaba el producto punto a matrices que no son de columna o de fila $n \times p$ donde $n \not =1$ y $p \not = 1$ .

Significa:

$$\sum_{i,j \in I} A_{i,j} B_{i,j} = \sum_{i \in I}\sum_{j \in I} A_{i,j} B_{i,j}$$

o significa una suma de todos los productos punto posibles entre $a_{i}$ y $b_{j}$ para todos ${i}$ y $j$ ?

o significa la suma de los productos punto entre los correspondientes $a_{i}$ y $b_{i}$ para todos $i$ ?

[Contexto]

El libro extranjero también utilizaba la notación:

$$\nabla \cdot \sum_{i\in I} v_{i,i} := v_{i,i}$$

y lo llamó notación de Einstein también en el contexto de "modelos continuos" que no entendí del todo, aparentemente analizando algunos modelos continuos.

Answer 1

En primer lugar, hay un poco de abuso de anotación aquí; la convención para la Suma de Einstein es que los índices de los tensores "superior" e "inferior" se pueden contraer, pero no dos índices superiores o dos inferiores. Así, se puede tener, por ejemplo, $A_{ij}B^{ij}$ o $A_{i}{}^{j}B^{i}{}_{j}$ o $A^{ij}B_{ij}$ pero $A_{ij}B_{ij}$ no tiene sentido sin que se produzca una subida/bajada implícita de los índices. Cuando los índices son en los lugares correctos, entonces la "convención de Einstein" a la que se refieren es simplemente que cualquier índice que aparezca dos veces en una expresión -una vez "arriba" y otra "abajo"- debe sumarse y, por tanto, anularse; por ejemplo, con una matriz escrita de la forma $A^i{}_j$ el producto matriz-vector se convierte simplemente en $A^i{}_jv^j = w^i$ . Obsérvese cómo el $i$ El índice "desaparece" aquí al ser sumado - esto dice efectivamente que cada elemento del vector $w$ es el producto punto de $v$ con la fila correspondiente de la matriz $A$ . Cuando la métrica es euclidiana (es decir, en la mecánica newtoniana "normal"), los índices se suben y bajan trivialmente, pero ponerlos en los lugares adecuados puede ayudar a veces a la intuición (por ejemplo, para el producto de matrices: $A^i{}_jB^j{}_k = C^i{}_k$ ). Nótese que en esta notación, el producto punto vectorial es simplemente $v^iw_i$ - y esto muestra cómo el producto punto depende implícitamente de la métrica, porque la métrica es necesaria para bajar el índice en $w$ (los vectores se escriben tradicionalmente con su índice elevado).

Una vez que se ha dicho esto, la convención de la suma para los índices múltiples es que se contraen independientemente; esto equivale a la doble suma que das. En efecto, se trata de un producto punto de las dos matrices "como vectores": la suma de los productos elemento-sabio de las dos matrices.

¿En qué contexto utilizaba el libro esta notación? Esa especie de "producto matricial de puntos" es una operación poco habitual y tengo curiosidad por saber para qué la utilizaban...