Que I, J sean ideales. ¿Son iguales?

Question

Dejemos que

$$I= \langle 11x^5y+7xy^6+9,8xy^4+6xy+9 \rangle$$

$$J= \langle 7x^5y^2+17x^2y^5+29,13xy^4+62xy^3+19 \rangle$$

ideales. Examina si esos dos ideales son iguales.

Viendo sus tramas en 3D creo que no son iguales, pero no sé cómo demostrarlo...

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Puedes utilizar el algoritmo de Buchberger para demostrar que esos ideales no son iguales. Elige cualquier orden monomial en $k[x,y]$ y construir la base de Groebner reducida para cada uno de esos ideales. Como la base reducida de Groebner es única para cada ideal fijado, este enfoque dará una respuesta directa.

Por ejemplo, para el grlex ( $x \succ y$ ) de pedidos: $$I = \langle 7y^5+11x^4-8y^3-6, \; 8xy^4+6xy+9, \; 88x^5-64xy^3-42xy^2-48x-63y \rangle,$$ mientras: $$J = \langle 133x^4+323xy^3-377y^2-1798y, \;13xy^4+62xy^3+19, \;4901y^6+46748y^5+111476y^4+2527x^3+6137y^3 \rangle.$$ Así que $I \neq J$ .

Por cierto, creo que esta pregunta debería ser etiquetada como una tarea.