¿Cuál es el Grupo de Galois de $f(t)=t^6-2t^3-1$ en $K:=\mathbb{Q}$ ?

Question

He demostrado que $f(t)$ es irreducible, aunque no pude encontrar una manera más fácil de hacerlo que mostrando la factorización en un polinomio de grado $4$ y una de grado $2$ o en dos de grado $3$ eran ambos imposibles - esto parece torpe, por lo que me sorprende que sea necesario.

He considerado el campo de división de $g(t)=t^2-2t-1$ que es una extensión intermedia $M$ tal que $Gal(M:K)=C_2$ . Desde $M$ y $L$ son ambos normales sobre $K$ tenemos $Gal(M:K)=Gal(L:K)/M^*$ , donde $M^*$ es el subgrupo de todos los $M$ -automorfismos; espero que esto sea útil. Tengo algunas ideas a partir de aquí, por ejemplo, si $\beta_1,\beta_2$ son las raíces de $g(t)$ Creo que $L$ es el campo de división de $(x^3-\beta_1)(x^3-\beta_2)$ en $M$ pero no estoy consiguiendo enlazarlos en una descripción real del grupo de Galois. ¿Es esta la dirección correcta?

Gracias de antemano por leer esto.

Answer 1

Destacaré algunos pasos principales y dejaré algunos detalles y justificaciones para que los verifiques.

$(1)$ Dejemos que $f(x):=x^6-2x^3-1$ y $g(t):=t^2-2t-1$ Así que $x^3=t$ . Entonces las raíces de $g(t)=t^2-2t-1$ son $1\pm\sqrt 2$ para que las raíces de $f(x)$ son $\sqrt[3]{1\pm\sqrt 2},~\omega\sqrt[3]{1\pm\sqrt 2},~\omega^2\sqrt[3]{1\pm\sqrt 2}$ con $\omega:=e^{2\pi i/3}$ .

$(2)$ Por lo tanto, el campo de división de $f(x)$ en $\Bbb Q$ es $M:=\Bbb Q(\sqrt[3]{1+\sqrt 2},\omega)$ que es un grado $12$ extensión sobre $\Bbb Q$ desde $[\Bbb Q(\sqrt[3]{1+\sqrt 2}):\Bbb Q]=6$ por irreducibilidad de $f(x)$ y $[\Bbb Q(\omega):\Bbb Q]=2$ . Obsérvese que omitimos $\sqrt[3]{1-\sqrt 2}$ de los generadores de $M$ desde $\sqrt[3]{1+\sqrt 2}=-(\sqrt[3]{1-\sqrt 2})^{-1}$ . Para que el rigor sea total, tendrá que verificar este cómputo de grado y la afirmación de la frase anterior.

$(3)$ De ello se desprende que $|\operatorname{Gal}(f/\Bbb Q)|=12$ por lo que el grupo de Galois de $f(x)$ en $\Bbb Q$ es $D_6$ (diédrico de orden $12$ ) o $C_6\times C_2$ hasta el isomorfismo, ya que el grupo de Galois es un subgrupo transitivo de $S_6$ .

$(4)$ Podemos demostrar que el grupo de Galois no es abeliano, y por tanto $\operatorname{Gal}(f/\Bbb Q)\cong D_6$ . Para demostrar que no es abeliano, utilice el teorema fundamental y exhiba un subcampo no normal de $M$ .