Demostrar $\sqrt[n]{m}\leq\sqrt[3]{3}\lor\sqrt[m]{n}\leq\sqrt[3]{3}$$n,m\in\mathbb{N}>1$.

Question

Probar que para cualesquiera enteros $m$ $n$ mayor que $1$, al menos uno de los números de $\sqrt[n]{m}$ o $\sqrt[m]{n}$ no es mayor que $\sqrt[3]{3}$.

Mi intento es algo a lo largo de las líneas de afirmar que para $(n,m)\in\{(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}$ es obvio, y para $n,m\geq4$ si $n=m$, entonces hay que probar que $\log_ 3n<n/3$, y si $n\ne m$, no tengo idea.

Como prueba de la $\log_ 3n<n/3$, es suficiente para afirmar que la igualdad tiene por $n=3$ y que después de eso, por $n>3$, la pendiente de $f(n)=\log_3n$ es menor que $1/3$ (rendimientos de $f'(n)=(n\ln3)^{-1}<3^{-1}$ porque $\ln3>1$), por lo que la función de $f(n)$ no levanta lo suficientemente rápido como para alcanzar a $n/3$, por lo que no habrá más intersecciones?

Answer 1

Estrictamente hablando, no de $m=n=3$ menos que usted haga su $\lt$ a $\le$. Si usted probarlo para $n=m$, se puede argumentar que para $n \gt m, \sqrt[n]m \lt \sqrt[m]m$, por lo que sólo tendrá que preocuparse acerca de la igualdad. Utilizando el cálculo, se puede demostrar que los $\sqrt[x]x$ es la disminución de $x \gt 3$ y usted está allí.

Answer 2

Quiere mostrar que $$ \min\left({\sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m}}\right) \le \sqrt[3]{3}. $$ Elevando ambos lados al $(3mn)$-ésima potencia, vemos que esto es equivalente a $$ \min\left(m^{3m}, n^{3n}\right)\le 3^{mn}. $$ Supongamos, sin pérdida de generalidad que $m \le n$; a continuación,$\min\left(m^{3m},n^{3n}\right)=m^{3m}$$3^{mn}\ge 3^{m^2}$. Porque $ m^3 \le 3^m $ para todos los $m\ge 1$ (*), tenemos $$ m^{3m} =\left[m^3\right)^{m}\le \left[3^{m}\right)^{m} = 3^{m^2} \le 3^{mn}$$ y hemos terminado.

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(*) La prueba de que $m^3 \le 3^m$ todos los $m \ge 1$ es por inducción: que tiene de $m=1,2,3$ por inspección directa, y en lo que va de $m$$m+1$$m\ge 3$, el lado derecho se multiplica por $3$, mientras que la mano izquierda se multiplica por $$\frac{(m+1)^3}{m^3}=1+\frac{3}{m}+\frac{3}{m^2}+\frac{1}{m^3} \le 1+\frac{3}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}<3.$$