Prueba de hipótesis de una media de Poisson utilizando una aproximación normal mediante la formación de un estadístico de prueba

Question

Uno de mis materiales de estudio afirma que cuando hay que hacer una prueba de hipótesis para una media de poisson $\lambda$ si la tabla de estadísticas no tiene el valor de la hipótesis $\lambda$ entonces se debe realizar una prueba de hipótesis calculando un estadístico de prueba $Z$ donde $$Z=\frac{\hat\lambda-\lambda_0}{\hat\lambda/n}$$

$\hat\lambda$ es la estimación puntual de la media de una muestra de tamaño $n$ y

$\lambda_0$ es la media hipotética.

Entonces, rechazar/no rechazar $H_0$ en consecuencia.

Podría alguien confirmar tanto la estadística de la prueba como el enfoque, ya que he encontrado pocas o ninguna fuente que esté de acuerdo/desacuerdo con esto.

EDIT: Hace unas semanas sospeché que el denominador debía tener raíz cuadrada, como sugirió @gung en los comentarios. El material de estudio que utilicé proviene de este sitio.

Answer 1

No estoy seguro de lo que es. Me pregunto si hay una errata o un error en la fórmula.

Puede comprobar si la estimación de un parámetro, estimada por máxima verosimilitud difiere de un valor nulo al realizar una Prueba de Wald . Las pruebas de Wald se derivan de la suposición de que la estimación de máxima verosimilitud se distribuiría como una normal estándar "en el infinito". Si su $N$ es lo suficientemente grande, podrías utilizarlo. Aquí hay dos formas de la prueba de Wald:
\begin{align} z &= \frac{\hat\theta - \theta_0}{\sqrt{\frac{{\rm Var}(\hat\theta)}{N}}} \\[10pt] \chi^2 &= \frac{(\hat\theta - \theta_0)^2}{\frac{{\rm Var}(\hat\theta)}{N}} \end{align} Ten en cuenta que la segunda versión es sólo el cuadrado de la primera. Tu fórmula se parece a la de arriba, pero falta la raíz cuadrada del denominador. (Recuerda que para la Distribución de Poisson , $\lambda$ es tanto la media como la varianza). El resultado es que el denominador será demasiado pequeño y la desviación estándar de los valores será demasiado grande para una normal estándar. Obsérvese que en la simulación rápida que se muestra a continuación (codificada en R) el uso de la raíz cuadrada produce valores que se sitúan en un intervalo razonable, pero su omisión hace que se sitúen en un intervalo enorme. Aparte de eso, los valores resultantes se distribuyen normalmente de cualquier manera:

library(car)                   # we'll use this package
set.seed(514)                  # this makes the example exactly reproducible
z.vect = vector(length=10000)  # these will store the results of the simulation
Z.vect = vector(length=10000)
for(i in 1:10000){             # we'll do this 10k times
  N = 500                      # there will be N=500 on each iteration
  l = 5                        # the null value of lambda is 5
  x = rpois(N, lambda=l)       # the true lambda is 5 (ie, the null is true)
  m = mean(x)                  # here we estimate the mean / lambda
  z.vect[i] = (m-l)/sqrt(m/N)  # these are the two formulae
  Z.vect[i] = (m-l)/    (m/N)
}
sd(z.vect)                     # the SD matches a standard normal
# [1] 1.001831
sd(Z.vect)                     # the SD is way too large for a standard normal
# [1] 10.02672
windows(height=4,width=7)
  layout(matrix(1:2, nrow=1))
  qqPlot(z.vect, main="With square root")
  qqPlot(Z.vect, main="Without square root")