Vector propio con coordenadas enteras

Question

Que sea $A$ una matriz, $n\times n$ con coordenadas enteras, y tal que $A$ tienen un vector propio $\underline{n}$ con coordenadas reales y valor propio 1. Mi problema es: cómo demostrar que $ A $ tiene un vector propio con coordenadas enteras (con valor propio 1)

Answer 1

Si traemos $A-I$ a la forma escalonada reducida (RREF) entonces las entradas serán racionales. A partir de la RREF podemos leer un vector propio con coordenadas racionales. Dado que cualquier múltiplo de un vector propio sigue siendo un vector propio correspondiente al mismo valor propio, se deduce que podemos despejar los denominadores para producir un vector propio con coordenadas enteras.