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¿Es la propiedad de no contener $\mathbb{F}_2$ invariante bajo cuasi-isometría?

¿Es invariante la propiedad de no contener el grupo libre en dos generadores bajo cuasi-isometría? La amabilidad lo es, por lo que si hay un contraejemplo también es una solución al problema de von Neumann-Day (que, por supuesto, ya tiene una solución).

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