Quiero saber si la inversa de una matriz triangular (descomposición de Cholesky de una matriz simétrica y definida positivamente en mi caso particular) sigue siendo triangular. Si es así, ¿podría alguien proporcionar una prueba también?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Algebraic Pavel
Puntos
11952
Sin determinantes: Si $L$ es $n\times n$ matriz triangular (digamos, inferior) noigular se puede escribir en la forma particionada $$ L = \begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ l & \tilde{L}\end{bmatrix}, $$ donde $\tilde{L}$ es un $(n-1)\times (n-1)$ matriz triangular inferior y, además, $\lambda\neq 0$ y $\tilde{L}$ es no singular (de lo contrario, es fácil demostrar que $L$ es singular). Un simple cálculo muestra que $$ L^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda^{-1} & 0\\ -\lambda^{-1}\tilde{L}^{-1}l & \tilde{L}^{-1}\end{bmatrix}. $$ Por lo tanto, $L^{-1}$ es triangular inferior siempre que la matriz triangular inferior más pequeña $\tilde{L}$ tiene un inverso triangular inferior (aquí se huele un argumento de inducción fácil).
Sí, si $A$ es una matriz triangular e invertible, entonces la inversa $A^{-1}$ de $A$ también es triangular. Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que (ver aquí ) $$adj(A)\cdot A=\det(A)\cdot I$$ donde $adj(A)$ es el adjunto de $A$ y $I$ es la matriz de identidad con el mismo tamaño que $A$ . Por lo tanto, tenemos $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj(A).$$ Desde $A$ es triangular, podemos demostrar que $adj(A)$ también es triangular.
Más concretamente, si $A$ es triangular superior, entonces el cofactor $C_{ij}$ de $A$ es cero para $i>j$ es decir $adj(A)$ es triangular superior. Del mismo modo, si $A$ es triangular inferior, entonces el cofactor $C_{ij}$ de $A$ es cero para $i<j$ es decir $adj(A)$ es triangular inferior.
