Cómo derivar 3 sucesos complementarios e independientes entre sí mediante la regla de la suma

Question

Estoy atascado con la siguiente derivación de mostrar la independencia de 3 eventos complementarios usando la regla de la adición. Mis conocimientos están un poco oxidados.

$P(A^c \cap B^c \cap C^c )= 1 - [P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+ P(A \cap B \cap C)]$

$= P(A)P(B)P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)-P(A)-P(B)-P(C)+1$

\= ... (¿cómo derivar más?)

$= (1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))$

$=P(A^c)P(B^c)P(C^c)$

Muchas gracias por la ayuda

Answer 1

Hay un error en su segunda línea

$P(A^c \cap B^c \cap C^c )= 1 - [P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+ P(A \cap B \cap C)]$

$= \color{red}-P(A)P(B)P(C)\color{red}+P(A)P(B)\color{red}+P(A)P(C)\color{red}+P(B)P(C)-P(A)-P(B)-P(C)+1$

$= (1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))$ [por factorización]

$=P(A^c)P(B^c)P(C^c)$