¿Existe una secuencia de números reales $\{a_n\}$ tal que $\sum_na_n^k$ converge para $k=1$ pero diverge para cualquier otro entero positivo impar?

Question

¿Existe una secuencia de números reales $\{a_n\}$ tal que $\sum_na_n^k$ converge para $k=1$ pero diverge para cualquier otro entero positivo impar?

Answer 1

Sí. De hecho, hay un hecho más fuerte:

Para cualquier conjunto $C$ (finito o infinito) de números enteros positivos Impares, existe una secuencia de números reales $\{a_n\}$ tal que para $k$ impar, $$ \sum_n a_n^k $$ converge si $k\in C$ .

Si esto es posible fue preguntado por Polya como problema 4142 en el American Mathematical Monthly. Fue resuelto por N.J. Fine, la solución apareció en 1946 (pp 283-284), y se puede encontrar aquí .

Answer 2

Esta es una respuesta parcial. Si $a_n \ge 0$ para todos $n$ no existe ninguna serie de este tipo. Dado que $\sum_n a_n < \infty$ , $a_n \to 0$ . Para $n$ suficientemente grande, $a_n < 1$ Así que $a_n^k < a_n < 1$ . Esto demuestra que $\sum_n a_n^k$ converge para cualquier $k > 1$ . De hecho, esto se aplica si la serie es absolutamente convergente.

Necesitarías una serie condicionalmente convergente muy extraña para cumplir tu criterio.