Simplifique $\sum_{k=0}^n (k*(k-1)*{n \choose n-k})$

Question

$$\sum_{k=0}^n (k*(k-1)*{n \choose n-k})$$

Estoy tratando de simplificar esto tanto como sea posible para $n = 24$ .

No sé si lo que estoy haciendo es correcto:

En primer lugar, he sustituido ${n \choose n-k}$ con ${n \choose k}$

Entonces distribuí los sigmas así:

$$\sum_{k=0}^n (k*(k-1)*{n \choose k}) = \sum_{k=0}^nk *\sum_{k=0}^n(k-1)*\sum_{k=0}^n{n \choose k}$$ ¿Sólo puedo hacerlo en este paso?

Answer 1

Lo tenemos:

$$\sum_{k = 0}^{n}k(k-1)\binom{n}{n- k} = \sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{n!}{k!(n -k)!} = \sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}$$

$$=\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)!}{(k-2)!\big((n-2)-(k-2)\big)!} = n(n-1)\sum_{k=0}^{n}\binom{n-2}{k-2}$$

Descartando la primera $2$ términos, que son $0$ :

$$=n(n-1)\sum_{k-2 = 0}^{n-2}\binom{n-2}{k-2} = \boxed{n(n-1)2^{n-2}}$$

Answer 2

Reconoce que la suma que te dan es la respuesta a la pregunta de " Dado un comité de tamaño $n$ ¿De cuántas maneras podemos formar un subcomité de cualquier tamaño con un presidente y un vicepresidente? "

Es la respuesta a esa pregunta planteando la cuestión de la siguiente manera: En primer lugar, se divide en función del tamaño del subcomité. Dejemos que el tamaño del subcomité se llame $k$ . Entonces, elige quién no está en el subcomité en absoluto ( eligiendo así quién está en el subcomité ). De los que no fueron seleccionados ( y así están en el subcomité ) elige a uno de ellos para que sea el presidente y luego elige a otro para que sea el vicepresidente.

Un enfoque alternativo para el recuento puede hacerse a partir del original $n$ El comité de personas elige primero a una persona para que sea el presidente del subcomité y luego elige al vicepresidente de entre los que quedan en $n(n-1)$ formas. Ahora, para el resto de $n-2$ personas, elija si cada una fue incluida o no en el subcomité.

Este segundo enfoque arroja una respuesta de:

$$n(n-1)2^{n-2}$$

Por principios de doble contabilidad Como la expresión original y esta segunda expresión cuentan el mismo escenario, deben ser iguales. No hace falta ninguna manipulación algebraica complicada.