Función con propiedad multiplicativa y $f(0) = f'(0) = 1$

Question

En mi libro de ecuaciones diferenciales, se plantea la cuestión de encontrar una función $f$ tal que $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ y $f(x+y) = f(x)f(y)$ para $x,y \in \mathbb{R}$ . El libro no hace más que indicar que $f(x) = e^{x}$ pero me cuesta ver cómo avanzar hacia la solución... hasta ahora todo lo que he podido conjeturar es que $f'(x) = f(x) \ \forall \ x$ Pero me resulta difícil probarlo y no estoy seguro de cómo seguir adelante.

¿Alguna idea o sugerencia?

Answer 1

Tenemos $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=f(x)\cdot\frac{f(h)-1}{h} $$ y como $f(0)=1$ , $\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h} =f'(0)=1$ ., para que efectivamente $f'(x)=f(x)$ para todos $x$ . En particular, la derivada de $\ln f(x)$ es $\frac {f'(x)}{f(x)}=1$ lo que significa que $f\ln f(x)=x$ o $f(x)=e^x$ .

Para ser precisos, primero debemos demostrar que $f(x)>0$ para todos $x$ antes de aplicar $\ln$ : Si $f(x)<0$ y luego por el IVT, $f(x)=0$ para algunos $y$ entre $0$ y $x$ . Si $f(y)=0$ entonces $f(0)=f(-y+y)=f(-y)f(y)=0$ contradicción.

Answer 2

Tomando la derivada de la ecuación funcional con respecto a $x$ , obtenemos que

$$f'(x+y) = f(y)f'(x)$$

Del mismo modo, tomando la derivada con respecto a $y$ rinde

$$f'(x+y) = f(x)f'(y)$$

por lo que podemos combinar estos dos para obtener

$$f(y)f'(x) = f(x)f'(y)$$

Tenga en cuenta que, si $f(x)=0$ para algunos $x$ Tendríamos que $f$ es idéntico $0$ , contradiciendo que $f(0)=1$ . Así, podemos dividir por $f(x)f(y)$ para conseguir que

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{f'(y)}{f(y)}$$

lo que significa que

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = c$$

para todos los reales $x$ . Dado que $f(0) = f'(0) = 1$ obtenemos que esta constante debe ser $1$ , por lo que tenemos que

$$f'(x) = f(x)$$

y podemos proceder a partir de ahí.

Generalmente, cuando tienes una ecuación funcional con una función que sabes que es diferenciable, intenta tomar la derivada y ver qué pasa.