Orden de un elemento y su carácter

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $\chi$ sea su carácter. Supongamos que $g \in G$ como orden $3$ y $\chi(g) \in \mathbb{R}$ . Demuestra que, de hecho, $\chi(g) \in \mathbb{Z}$ y $\chi(g) \equiv \chi(1) \pmod3$ .

Ahora bien, como $\chi(1)$ es la dimensión de la representación matricial de $g$ entonces $\chi(g)$ es la suma si $\chi(1)$ raíces cúbicas de la unidad: $\; 1, \dfrac{-1-i\sqrt3}{2}, \dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Sé que si $\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}$ aparece en la diagonal entonces también debe $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}$ pero sigo sin ver cómo probar la afirmación.

Answer 1

$\chi(g) = tr(\rho(g))$ con $\rho$ una representación del grupo cíclico $\{1,g,g^2 \} \to GL_n(\mathbb{C})$ Así que $\rho$ es equivalente a alguna representación $\rho'(g) =\text{diag}( \zeta_3^{e_1}, \ldots,\zeta_3^{e_m})$ .

Dejemos que $K = \mathbb{Q}(\zeta_3)$ , $O_K$ su anillo de enteros, $\mathfrak{p}$ un ideal primo de $O_K$ por encima de $(3)$ . Hay un "Frobenius" $\sigma \in Gal(K/\mathbb{Q})$ tal que $\forall a\in O_K, \sigma(a)- a^3 \in \mathfrak{p}$ En particular $\chi(1) = \chi(g^3) =\sum_{m=1}^n \zeta_3^{3e_m} \equiv \sum_{m=1}^n \sigma(\zeta_3^{e_m})\equiv \sigma(\sum_{m=1}^n \zeta_3^{e_m})\equiv\sigma(\chi(g)) \bmod \mathfrak{p}$ .

Se dice que $\chi(g) \in \mathbb{R}$ por lo tanto $\chi(g) \in O_K \cap \mathbb{R}=\mathbb{Z}$ para que $\sigma(\chi(g)) = \chi(g))$ y $\chi(1) \equiv \chi(g) \bmod \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} = (3)$ .

También hay que tener en cuenta por la misma razón $\chi(g^3) \equiv \chi(g)^3 \bmod 3$ .