$x^{5x}=y^y$ , $x, y \in \mathbb{Z}^+$ , encontrar el mayor valor de $x$ .

Question

Dejemos que $x$ y $y$ sean números enteros positivos que satisfagan $x^{5x} = y^y$ . ¿Cuál es el mayor valor posible para $x$ ?

Estoy atascado en esta pregunta de un examen pasado de la Olimpiada. ¿Alguien tiene alguna idea sobre esto?

Answer 1

Primero, tenemos: $$x^{5x}=y^y<y^{5y} \implies x<y$$ Como $x^{5x}=y^y$ y $x<y$ se deduce que $x \mid y$ . Sustituyendo $y=kx$ donde $k \in \mathbb{N}$ : $$x^{5x}=(kx)^{kx} \implies x^5=(kx)^k \implies k^k=x^{5-k}$$ Claramente. $k<5$ . Sustituyendo $k=1,2,3,4$ : $$k=1 \implies 1=x^4 \implies x=1 \implies (x,y)=(1,1)$$ $$k=2 \implies 4=x^3 \text{ (impossible)}$$ $$k=3 \implies 27=x^2 \text{ (impossible)}$$ $$k=4 \implies 256=x \implies (x,y)=(256,1024)$$

Así, las soluciones son $(x,y)=(1,1),(256,1024)$ .