Convergencia de la acción efectiva cuántica a un orden de bucle finito

Question

Consideremos la acción efectiva cuántica de una QFT fija. Si la calculamos perturbativamente hasta un orden de bucle finito $\ell$ obtenemos una suma sobre un número infinito de diagramas de Feynman. Por ejemplo, la acción efectiva cuántica de 1 lazo de la QED contiene contribuciones de todos los diagramas en los que un solo lazo de electrones está conectado a k patas de fotones externos.

¿Qué se sabe sobre la convergencia de esta suma? ¿Converge "a la primera"? ¿Converge al menos después de algunas manipulaciones formales como la suma de Borel?

Además, ¿hay ejemplos en los que la acción efectiva cuántica pueda escribirse "explícitamente", en algún sentido? ¿Es decir, como una expresión analítica de un funcional (no lineal)?

EDIT: Evidentemente no me he expresado con claridad. Tomemos $\phi^3$ teoría por ejemplo. Es inconsistente más allá de la teoría de perturbaciones porque el vacío es inestable, pero no importa. La acción efectiva es un funcional $I(\phi)$ dado en la teoría de la perturbación por una suma infinita sobre diagramas de Feynman irreducibles de una partícula. Por ejemplo, consideremos un diagrama con una espira a la que se unen 4 patas externas. El diagrama se evalúa con una función $f(p_1, p_2, p_3, p_4)$ de los 4-momentos externos. Si la función fuera polinómica el término resultante en la acción efectiva sería la integral de un operador diferencial cuártico. En caso contrario resulta algo más complicado. Para describirlo tenemos que considerar la transformada de Fourier phi^ de phi. La contribución del diagrama es aproximadamente

$$\int f(p_1, p_2, p_3, -p_1-p_2-p_3) \phi^{p_1} \phi^{p_2} \phi^{p_3} \phi^{-p_1-p_2-p_3} dp_1 dp_2 dp_3$$

Si calculamos la acción efectiva para algún orden finito fijo en $\hbar$ corresponde a restringir la suma a los diagramas de orden de bucle limitado. Sin embargo, la suma sigue siendo infinita. Por ejemplo, para el orden de 1 bucle tenemos todos los diagramas con un bucle y $k$ patas externas unidas. La cuestión es si esta suma converge a un funcional bien definido $I(\phi)$ . En otras palabras, quiero evaluar realmente la acción efectiva sobre las configuraciones de campo en lugar de considerarla como una expresión formal.

Answer 1

Las amplitudes en las QFT genéricas se comportan como $$ {\mathcal A} \sim \sum_{L=0}^\infty L! \cdot A_L \cdot g^{2L} $$ donde $A_L$ tiene una dependencia más lenta de $L$ que el factor $L!$ . Este hecho puede obtenerse contando los diagramas de Feynman (permutaciones de vértices y bucles... muchos tipos de diagramas de Feynman) o resolviendo ejemplos resolubles analíticamente.

Debido a la $L!$ aumento, no converge. Si se trata de encontrar el término más pequeño de la serie -que finalmente diverge para grandes $L$ (por lo que el término más pequeño, incluido o no, mide el error mínimo de la recapitulación) - será el término con $L$ escalando como $1/g$ y este término es de orden $\exp(-C/g^2)$ , como se puede ver a partir de un problema de minimización y la fórmula de Stirling, comparable a las correcciones instantáneas (no perturbativas principales) de la amplitud.

Prácticamente las únicas excepciones en las que se evita la divergencia anterior son las QFT finitas en las que las amplitudes suelen terminar después de un número finito de términos o tienen otras propiedades especiales.

La divergencia también existe, en la misma medida, en otras teorías de campo y en la teoría de cuerdas con los acoplamientos abierto/cerrado con los mapas $$g_{\rm closed} \sim \lambda_{\phi^4}\sim g^2 \sim g_{\rm open}^2 $$ De nuevo, incluso en la teoría de cuerdas, es cierto que las principales correcciones no perturbativas, ahora de orden $\exp(-C/g_{\rm closed})$ al igual que los instantones de la D-brana, son del mismo orden que el error mínimo de la sumatoria de la serie divergente.

Las series se conocen matemáticamente como series asintóticas

http://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_series

No hay una suma única bien definida. De hecho, eso es algo bueno porque la ambigüedad de la suma perturbativa -que es menor que cualquier término finito de la expansión perturbativa, como $\exp(-C/g)$ - está ligado a las ambigüedades de cómo se incluyen exactamente las correcciones no-perturbativas.

La divergencia también puede justificarse con un argumento heurístico. El radio de convergencia en la expansión en $g$ por ejemplo, en QED o en cualquier QFT tiene que ser cero porque la teoría es estrictamente inconsistente para una constante de estructura fina infinitesimal negativa. Si la fuerza electrostática para cargas similares fuera atractiva, podrían formarse en el Universo grandes trozos de materia positiva y materia negativa. La energía de interacción sería negativa, por lo que ésta podría crearse a partir del vacío y éste sería inestable, lo que en realidad debería significar que todas las amplitudes entre las excitaciones aparentemente bien definidas del vacío deberían calcularse como inconsistentes. Y, efectivamente, lo son: $\exp(-C/g^2)$ es muy pequeño para las pequeñas y positivas $g^2$ pero diverge para un valor pequeño y negativo $g^2$ .