orden máximo de elementos en GL(n,p)

Question

Busco una fórmula para el orden máximo de un elemento en el grupo $\operatorname{GL}\left(n,p\right)$ donde $ p$ es primo.

Recuerdo haber visto una fórmula de este tipo en un artículo de mediados o principios del siglo XX, pero no he podido volver a encontrar esta referencia. Agradeceré cualquier pista.

Answer 1

Bueno, por Cayley--Hamilton, cada matriz $A\in {\rm GL}(n,p)$ genera un máximo de $n$ -subálgebra dimensional ${\mathbb F}_p[A]\subseteq M(n,p)$ que contiene como máximo $p^n-1$ elementos distintos de cero. Por lo tanto, el orden de $A$ no puede superar $p^n-1$ .

Por otro lado, considere una titulación $n$ polinomio mónico $P_n$ cuya raíz es un generador $\xi$ de ${\mathbb F}_{p^n}^*$ . Entonces una matriz con $P_n$ ya que su polinomio característico tiene orden al menos $p^n-1$ desde $\xi$ es su valor propio.

ADENDA. si desea que la orden sea el poder de $p$ entonces la respuesta es $d=p^{\lceil \log_p n\rceil}$ . Dado que el orden de $A$ es divisible por los órdenes multiplicativos de sus valores propios, todos los valores propios deben ser $1$ . Por lo tanto, el polinomio característico es $(x-1)^n$ Así que $A^d-I=(A-I)^d=0$ .

Por otra parte, si $A=I+J$ es la célula Jordan de tamaño $n$ (con valor propio 1), entonces $A^{d/p}=I^{d/p}+J^{d/p}\neq I$ pero $A^d=I+J^d=I$ .

NB. El subgrupo de todas las matrices unitriangulares (superiores) es un Sylow $p$ -subgrupo en ${\rm GL}(n,p)$ . Así que puede concentrarse en ella cuando examine los elementos de este tipo.

ADDENDUM-2 (mucho más tarde). Se trata de responder a la pregunta de los comentarios sobre el orden máximo de un elemento $f\in AGL(n,q)$ donde $q$ es una potencia de $p$ . Escriba a $f(x)=Ax+b$ .

Si $1$ no es un valor propio de $A$ entonces $f$ tiene un punto fijo (la ecuación $f(x)=x$ tiene solución), por lo que podemos considerarlo como un elemento de $GL(n,q)$ y el orden máximo de $f$ es de nuevo $q^n-1$ .

Así pues, nos interesa el caso en que el polinomio mínimo $\mu(x)$ de $A$ desaparece en $1$ , digamos $\mu(x)=(x-1)^k\nu(x)$ donde $\nu(1)\neq 0$ . Entonces $A$ es similar a una matriz diagonal de bloques con bloques que tienen polinomios mínimos $(x-1)^k$ y $\nu(x)$ (en vista de $\mathbb F_q^n=\mathop{\mathrm {Ker}}(A-I)^k\oplus\mathop{\rm Ker}\nu(A)$ ). Por lo tanto, el orden $d$ de $A$ no supera $p^{\lceil\log_p k\rceil}(q^{n-k}-1)$ si $n<k$ y $p^{\lceil\log_p n\rceil}$ de lo contrario. Si $n>3$ (o $n=3$ y $q>2$ ), se puede ver fácilmente que este límite no supera $q^{n-1}-1$ . Así que $f^d$ es una traslación, lo que da como resultado que $f^{pd}=\mathord{\rm id}$ y $pd\leq p(q^{n-1}-1)<q^n-1$ . Por lo tanto, el orden máximo de $f$ en estos casos sigue siendo $q^n-1$ .

Nos quedan los casos $n=1$ , $n=2$ o $n=3$ , $p=2$ . En $n=1$ la respuesta es obviamente $\max(p,q-1)$ . En $n=2$ el único caso que queda es $d=p=q$ cuando $A$ es similar a la célula de Jordan $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. In this case, $f^p(x)=x+(A^{p-1}+\dots+I)b=x$ unless $p=2$, when $f^2(x)=x+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}b$ . Así que la respuesta sigue siendo $q^2-1$ cuando $q>2$ y $4$ de lo contrario.

Por último, si $n=3$ y $q=2$ entonces el orden de $A$ con valor propio $1$ es superior a 3 sólo si $A$ es similar a $3\times 3$ célula de Jordan (entonces $d=4$ ); pero en este caso $f^4=\mathord{\rm id}$ . Así que esto no es una excepción.

Resumiendo, los únicos casos en los que el orden puede ser mayor que $q^n-1$ son: (1) $n=1$ , $q=p$ (el orden máximo es $p$ ), y (2) $n=2$ , $q=2$ (el orden máximo es $4$ ).