Hace $-\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}} \le \frac{x_1+...+x_n}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}} \phantom{1},(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}$ ?

Question

Intento demostrar la siguiente desigualdad:

$$ -\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}} \le \frac{x_1+...+x_n}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}} \phantom{15},(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R} $$

El ejercicio parece muy sencillo pero tengo problemas para resolverlo. Estaba pensando en utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz $\lvert u\cdot v\rvert \le \left\lVert u\right\rVert \left\lVert v \right\rVert$ pero no estoy seguro de que sea correcto. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Una pista: Consideremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en relación con los vectores $$ u = (x_1/n, \cdots,x_n/n), \quad v = (1,\cdots,1). $$

Answer 2

Es una igualdad si todos los $x_i$ son iguales y negativos.

Answer 3

Por C-S $$\sqrt{n\sum_{k=1}^nx_k^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n1^2\sum_{k=1}^nx_k^2}\geq\sqrt{\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^2}=\left|\sum_{k=1}^nx_k\right|,$$ que da $$\left|\frac{\sum\limits_{k=1}^nx_k}{n}\right|\leq\sqrt{\frac{\sum\limits_{k=1}^nx_k^2}{n}},$$ que es su desigualdad.