Multiplicación de distribuciones binomiales

Question

Supongamos que tengo X ∼ Bin(1,p). ¿Es la distribución de X^2 la misma que la de X?

Sé que X+X ∼ Bin(1+1,p), lo que me llevaría a la afirmación (probablemente incorrecta) de que X^2 ∼ Bin(1*1,p).

También sé que si para Bin(n,p), donde n = 1, entonces sólo ocurre un ensayo. ¿Es ésta la única situación en la que X^2 tiene la misma distribución que X?

Answer 1

Sí, cuando $X$ es una variable aleatoria Bernoulli $X^2$ tiene la misma distribución; tiene el mismo apoyo $\{0,1\}$ y realiza cada resultado con la misma probabilidad.   Además, como comenta Robert, no se trata sólo de la misma distribución, esto hace que sea la misma variable aleatoria.

Sin embargo, $X^2$ no suele tener la misma distribución que $X$ cuando $X$ es el número de aciertos en una serie de ensayos iid Bernoulli.   Esto se puede ver examinando los soportes, como $X$ tiene el apoyo de $\{0,1,2, ..., n\}$ mientras que $X^2$ es compatible con $\{0,1,4, ..., n^2\}$ .   Sólo cuando $n=1$ son estos idénticos.

Más información en $2X\nsim\mathcal{Bin}(2,p)$ por la misma razón.

Si tuvieras un independiente y la variable idénticamente distribuida, $Y\sim\mathcal {Bin}(1,p)$ entonces $X+Y\sim\mathcal{Bin}(2,p)$ .   Pero $X$ no es claramente independiente de sí mismo.