Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ sean las longitudes de los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ y que los puntos $D$ , $E$ , $F$ se encuentran en los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ . (Este último es ligeramente diferente a la de la pregunta original). Sea $r = |DE| = |EF| = |FD|$ sea la longitud de los lados del triángulo equilátero; sea $s = |AF| = |BD| = |CE|$ sean las longitudes de los subsegmentos congruentes de los lados.
La ley de los cosenos para cada $r$ -lugar de entrada $\triangle AEF$ , $\triangle BFD$ , $\triangle CDE$ da
$$\begin{align} r^2 = s^2 + (b-s)^2 - 2 s (b-s) \cos A \\ r^2 = s^2 + (c-s)^2 - 2 s (c-s) \cos B \\ r^2 = s^2 + (a-s)^2 - 2 s (a-s) \cos C \end{align}$$
Igualando los lados de la derecha y restando $2s^2$ rendimientos: $$b^2-2bs-2s(b-s)\cos A = c^2-2cs-2s(c-s)\cos B = a^2 - 2 a s - 2 s(a-s) \cos C$$
Utilizando la ley de los cosenos (en $\triangle ABC$ ) para reescribir cada uno de $\cos A$ , $\cos B$ , $\cos C$ y, simplificando un poco, se obtiene
$$\begin{align} &\phantom{=}\;a\left( s^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)+ s b\left(a^2-\left(b+c\right)^2\right)+b^3 c\right) \\ &= b\left( s^2\left(\phantom{-}a^2-b^2+c^2\right)+ s c\left(b^2-\left(c+a\right)^2\right)+c^3 a\right) \\ &= c\left( s^2\left(\phantom{-}a^2+b^2-c^2\right)+ s a\left(c^2-\left(a+b\right)^2\right)+a^3 b\right) \end{align}$$
Podemos descomponer la triple igualdad en un sistema de dos ecuaciones cuadráticas en el parámetro $s$ . Eliminación de $s$ da una ecuación polinómica, $p(a,b,c)=0$ los factores de $p$ proporcionan estas ecuaciones: $$\begin{align} abc (a+b+c) &= 0 &(1) \\ a^2 b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2 a\left(c-a\right) &= 0 & (2) \\ a b\left(a-b\right)\left(a\left(b-c\right)\left(a^2-b^2\right)-b^2c^2\right) \\ +b c\left(b-c\right)\left(b\left(c-a\right)\left(b^2-c^2\right)-c^2a^2\right) \\ +c a\left(c-a\right)\left(c\left(a-b\right)\left(c^2-a^2\right)-a^2b^2\right) &= 0 & (3) \end{align}$$
Las soluciones en cada caso corresponden a soluciones ostensibles del problema.
Podemos ignorar (1), que sólo tiene soluciones triviales. I creer Las únicas soluciones no triviales de (2) (con la desigualdad del triángulo en juego) requieren $a=b=c$ pero tengo que volver a comprobarlo.
En cuanto a (3), es evidente que $a=b=c$ obras; y, en efecto, si (digamos) $a=b$ entonces $a=b=c$ . Así que cualquier solución no equilátera tendría que ser estrictamente escaleno; resulta que (3) admite soluciones escalenas.
A continuación se muestra el gráfico de Mathematica de (3), con $c=1$ el eje horizontal es $a$ y la vertical es $b$ . Las líneas son $a+b=c$ y $b+c=a$ y $c+a=b$ que limitan la región de viabilidad según la desigualdad del triángulo. El punto $(1,1)$ Parece que el trazador implícito no lo ha visto, pero muchos otros puntos aparecen en azul (creo que hay incluso más). Los zooms muestran una isla cerca del $a+b=c$ frontera, por ejemplo).
Esta es la cifra de $a=8$ , $b=8.58667$ , $c=1$ :
Equilátero $\triangle DEF$ extiende más allá de los confines de $\triangle ABC$ . Esto puede ser la razón por la que @Brian estaba teniendo dificultades para descartar la no-equivalencia $\triangle ABC$ s.
Sospecho que la ecuación (3) puede expresarse de forma más esclarecedora; no me queda claro, por ejemplo, si cada La solución de (3) corresponde a un triángulo "externo". Probablemente haya otro enfoque de este problema que lo haga todo evidente, pero esto es lo mejor que tengo por el momento.