Triángulo equilátero inscrito en un triángulo

Question

Consideremos el triángulo ABC. El punto D está en AC, E en BC y F en AB. Dado que el triángulo DEF es equilátero y que los segmentos CD, BE y AF tienen la misma longitud, demuestra que el triángulo ABC también debe ser equilátero. Ya he jugado bastante con este problema utilizando círculos, la ley del seno, la ley del coseno, etc., y casi he llegado al punto de capitulación. Se agradecería cualquier pista. En realidad no estoy seguro de que la afirmación sea cierta, pero tampoco he podido encontrar un contraejemplo, así que estoy atascado en ambos sentidos.

Answer 1

Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ sean las longitudes de los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ y que los puntos $D$ , $E$ , $F$ se encuentran en los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ . (Este último es ligeramente diferente a la de la pregunta original). Sea $r = |DE| = |EF| = |FD|$ sea la longitud de los lados del triángulo equilátero; sea $s = |AF| = |BD| = |CE|$ sean las longitudes de los subsegmentos congruentes de los lados.

La ley de los cosenos para cada $r$ -lugar de entrada $\triangle AEF$ , $\triangle BFD$ , $\triangle CDE$ da

$$\begin{align} r^2 = s^2 + (b-s)^2 - 2 s (b-s) \cos A \\ r^2 = s^2 + (c-s)^2 - 2 s (c-s) \cos B \\ r^2 = s^2 + (a-s)^2 - 2 s (a-s) \cos C \end{align}$$

Igualando los lados de la derecha y restando $2s^2$ rendimientos: $$b^2-2bs-2s(b-s)\cos A = c^2-2cs-2s(c-s)\cos B = a^2 - 2 a s - 2 s(a-s) \cos C$$

Utilizando la ley de los cosenos (en $\triangle ABC$ ) para reescribir cada uno de $\cos A$ , $\cos B$ , $\cos C$ y, simplificando un poco, se obtiene

$$\begin{align} &\phantom{=}\;a\left( s^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)+ s b\left(a^2-\left(b+c\right)^2\right)+b^3 c\right) \\ &= b\left( s^2\left(\phantom{-}a^2-b^2+c^2\right)+ s c\left(b^2-\left(c+a\right)^2\right)+c^3 a\right) \\ &= c\left( s^2\left(\phantom{-}a^2+b^2-c^2\right)+ s a\left(c^2-\left(a+b\right)^2\right)+a^3 b\right) \end{align}$$

Podemos descomponer la triple igualdad en un sistema de dos ecuaciones cuadráticas en el parámetro $s$ . Eliminación de $s$ da una ecuación polinómica, $p(a,b,c)=0$ los factores de $p$ proporcionan estas ecuaciones: $$\begin{align} abc (a+b+c) &= 0 &(1) \\ a^2 b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2 a\left(c-a\right) &= 0 & (2) \\ a b\left(a-b\right)\left(a\left(b-c\right)\left(a^2-b^2\right)-b^2c^2\right) \\ +b c\left(b-c\right)\left(b\left(c-a\right)\left(b^2-c^2\right)-c^2a^2\right) \\ +c a\left(c-a\right)\left(c\left(a-b\right)\left(c^2-a^2\right)-a^2b^2\right) &= 0 & (3) \end{align}$$

Las soluciones en cada caso corresponden a soluciones ostensibles del problema.

Podemos ignorar (1), que sólo tiene soluciones triviales. I creer Las únicas soluciones no triviales de (2) (con la desigualdad del triángulo en juego) requieren $a=b=c$ pero tengo que volver a comprobarlo.

En cuanto a (3), es evidente que $a=b=c$ obras; y, en efecto, si (digamos) $a=b$ entonces $a=b=c$ . Así que cualquier solución no equilátera tendría que ser estrictamente escaleno; resulta que (3) admite soluciones escalenas.

A continuación se muestra el gráfico de Mathematica de (3), con $c=1$ el eje horizontal es $a$ y la vertical es $b$ . Las líneas son $a+b=c$ y $b+c=a$ y $c+a=b$ que limitan la región de viabilidad según la desigualdad del triángulo. El punto $(1,1)$ Parece que el trazador implícito no lo ha visto, pero muchos otros puntos aparecen en azul (creo que hay incluso más). Los zooms muestran una isla cerca del $a+b=c$ frontera, por ejemplo).

Esta es la cifra de $a=8$ , $b=8.58667$ , $c=1$ :

Equilátero $\triangle DEF$ extiende más allá de los confines de $\triangle ABC$ . Esto puede ser la razón por la que @Brian estaba teniendo dificultades para descartar la no-equivalencia $\triangle ABC$ s.

Sospecho que la ecuación (3) puede expresarse de forma más esclarecedora; no me queda claro, por ejemplo, si cada La solución de (3) corresponde a un triángulo "externo". Probablemente haya otro enfoque de este problema que lo haga todo evidente, pero esto es lo mejor que tengo por el momento.

Answer 2

Dibuja el triángulo DEF. Dibuja sobre él el triángulo ABC, con A=D, B=E y C=F. Los triángulos son idénticos y tienen el mismo punto central. Gira el triángulo DEF en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto central. Como los puntos D, E y F tienen un recorrido circular, tenemos que reducir el triángulo DEF para mantener sus puntos en los lados del triángulo ABC.

La rotación y la contracción no cambian la forma del triángulo DEF y no alteramos el triángulo ABC, que sigue siendo equilátero.

Editar
Además de la rotación y la dilatación, tenemos que desplazar el punto central del triángulo interior la mitad de su distancia original del centro al vértice.

Los dos triángulos son congruentes al principio y luego el triángulo interior se hace más pequeño pero sigue siendo similar (los ángulos no cambian).

Otros triángulos no funcionan Probando esto al elaborar un triángulo rectángulo ABC y poniendo un pequeño desplazamiento de cada vértice para los puntos D, E y F, luego conectando los puntos, encontraremos que el triángulo DEF ya no es un triángulo rectángulo.

Ejemplo

Los tres triángulos exteriores son congruentes por el teorema Lado-Angulo-Lado. Esto significa que los tres lados del triángulo interior también son iguales, por lo que el triángulo interior es un triángulo equilátero.