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Triángulo equilátero inscrito en un triángulo

Consideremos el triángulo ABC. El punto D está en AC, E en BC y F en AB. Dado que el triángulo DEF es equilátero y que los segmentos CD, BE y AF tienen la misma longitud, demuestra que el triángulo ABC también debe ser equilátero. Ya he jugado bastante con este problema utilizando círculos, la ley del seno, la ley del coseno, etc., y casi he llegado al punto de capitulación. Se agradecería cualquier pista. En realidad no estoy seguro de que la afirmación sea cierta, pero tampoco he podido encontrar un contraejemplo, así que estoy atascado en ambos sentidos.

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Brian Deacon Puntos 4185

Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ sean las longitudes de los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ y que los puntos $D$ , $E$ , $F$ se encuentran en los lados opuestos $A$ , $B$ , $C$ . (Este último es ligeramente diferente a la de la pregunta original). Sea $r = |DE| = |EF| = |FD|$ sea la longitud de los lados del triángulo equilátero; sea $s = |AF| = |BD| = |CE|$ sean las longitudes de los subsegmentos congruentes de los lados.

La ley de los cosenos para cada $r$ -lugar de entrada $\triangle AEF$ , $\triangle BFD$ , $\triangle CDE$ da

$$\begin{align} r^2 = s^2 + (b-s)^2 - 2 s (b-s) \cos A \\ r^2 = s^2 + (c-s)^2 - 2 s (c-s) \cos B \\ r^2 = s^2 + (a-s)^2 - 2 s (a-s) \cos C \end{align}$$

Igualando los lados de la derecha y restando $2s^2$ rendimientos: $$b^2-2bs-2s(b-s)\cos A = c^2-2cs-2s(c-s)\cos B = a^2 - 2 a s - 2 s(a-s) \cos C$$

Utilizando la ley de los cosenos (en $\triangle ABC$ ) para reescribir cada uno de $\cos A$ , $\cos B$ , $\cos C$ y, simplificando un poco, se obtiene

$$\begin{align} &\phantom{=}\;a\left( s^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)+ s b\left(a^2-\left(b+c\right)^2\right)+b^3 c\right) \\ &= b\left( s^2\left(\phantom{-}a^2-b^2+c^2\right)+ s c\left(b^2-\left(c+a\right)^2\right)+c^3 a\right) \\ &= c\left( s^2\left(\phantom{-}a^2+b^2-c^2\right)+ s a\left(c^2-\left(a+b\right)^2\right)+a^3 b\right) \end{align}$$

Podemos descomponer la triple igualdad en un sistema de dos ecuaciones cuadráticas en el parámetro $s$ . Eliminación de $s$ da una ecuación polinómica, $p(a,b,c)=0$ los factores de $p$ proporcionan estas ecuaciones: $$\begin{align} abc (a+b+c) &= 0 &(1) \\ a^2 b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2 a\left(c-a\right) &= 0 & (2) \\ a b\left(a-b\right)\left(a\left(b-c\right)\left(a^2-b^2\right)-b^2c^2\right) \\ +b c\left(b-c\right)\left(b\left(c-a\right)\left(b^2-c^2\right)-c^2a^2\right) \\ +c a\left(c-a\right)\left(c\left(a-b\right)\left(c^2-a^2\right)-a^2b^2\right) &= 0 & (3) \end{align}$$

Las soluciones en cada caso corresponden a soluciones ostensibles del problema.

Podemos ignorar (1), que sólo tiene soluciones triviales. I creer Las únicas soluciones no triviales de (2) (con la desigualdad del triángulo en juego) requieren $a=b=c$ pero tengo que volver a comprobarlo.

En cuanto a (3), es evidente que $a=b=c$ obras; y, en efecto, si (digamos) $a=b$ entonces $a=b=c$ . Así que cualquier solución no equilátera tendría que ser estrictamente escaleno; resulta que (3) admite soluciones escalenas.

A continuación se muestra el gráfico de Mathematica de (3), con $c=1$ el eje horizontal es $a$ y la vertical es $b$ . Las líneas son $a+b=c$ y $b+c=a$ y $c+a=b$ que limitan la región de viabilidad según la desigualdad del triángulo. El punto $(1,1)$ Parece que el trazador implícito no lo ha visto, pero muchos otros puntos aparecen en azul (creo que hay incluso más). Los zooms muestran una isla cerca del $a+b=c$ frontera, por ejemplo).

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Esta es la cifra de $a=8$ , $b=8.58667$ , $c=1$ :

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Equilátero $\triangle DEF$ extiende más allá de los confines de $\triangle ABC$ . Esto puede ser la razón por la que @Brian estaba teniendo dificultades para descartar la no-equivalencia $\triangle ABC$ s.

Sospecho que la ecuación (3) puede expresarse de forma más esclarecedora; no me queda claro, por ejemplo, si cada La solución de (3) corresponde a un triángulo "externo". Probablemente haya otro enfoque de este problema que lo haga todo evidente, pero esto es lo mejor que tengo por el momento.

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Esto parece prometedor. Estoy de acuerdo en que, con la desigualdad de triángulos en juego, la única solución aplicable a (2) es a = b = c. A juzgar por tu gráfico de (3) parecería que toda solución que no sea a = b = c corresponde a un triángulo exterior, pero supongo que habría que demostrarlo. Muchas gracias.

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@Brian: Es peligroso juzgar mucho a partir de ese gráfico en particular. La ecuación (3) es, después de todo, un polinomio de grado 7, por lo que su comportamiento general no es tan ordenado o predecible como, por ejemplo, un cuadrático. El trazador implícito de Mathematica puede haber pasado por alto mucho más de la estructura que del punto $(1,1)$ y la isla ovalada de soluciones que noté cerca de la línea $a+b=c$ . Advertencia gráfica.

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Sí, por supuesto, caveat graphor. Al menos tengo una nueva frase que añadir a mi vocabulario matemático :) Me he dado cuenta de una errata cerca del principio; la tercera de las ecuaciones del coseno tiene una "c" donde debería haber una "a". No continuó, pero pensé en mencionarlo.

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lalitm Puntos 316

Dibuja el triángulo DEF. Dibuja sobre él el triángulo ABC, con A=D, B=E y C=F. Los triángulos son idénticos y tienen el mismo punto central. Gira el triángulo DEF en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto central. Como los puntos D, E y F tienen un recorrido circular, tenemos que reducir el triángulo DEF para mantener sus puntos en los lados del triángulo ABC.

La rotación y la contracción no cambian la forma del triángulo DEF y no alteramos el triángulo ABC, que sigue siendo equilátero.

Editar
Además de la rotación y la dilatación, tenemos que desplazar el punto central del triángulo interior la mitad de su distancia original del centro al vértice.

Los dos triángulos son congruentes al principio y luego el triángulo interior se hace más pequeño pero sigue siendo similar (los ángulos no cambian).

Otros triángulos no funcionan Probando esto al elaborar un triángulo rectángulo ABC y poniendo un pequeño desplazamiento de cada vértice para los puntos D, E y F, luego conectando los puntos, encontraremos que el triángulo DEF ya no es un triángulo rectángulo.

Ejemplo Example

Los tres triángulos exteriores son congruentes por el teorema Lado-Angulo-Lado. Esto significa que los tres lados del triángulo interior también son iguales, por lo que el triángulo interior es un triángulo equilátero.

Animated Example

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¿Cómo sabes que $DEF$ se obtiene de $ABC$ mediante la rotación y la contracción? Eso parece ser una pregunta.

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@joriki Al visualizar esto, me resultó más fácil arreglar $DEF$ , girar $ABC$ y ampliarlo a $A'B'C'$ para que los vértices de $DEF$ se encuentran en los bordes correctos de $A'B'C'$ . El hecho de que $A'B'C'$ sigue siendo un triángulo equilátero se deduce de la observación de triángulos similares. Buena intuición, Fred. Lástima que sólo pueda votar una vez.

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Fred Daniel Kline. La imagen de un triángulo giratorio es intuitivamente útil, aunque me resulta más fácil visualizarla de la forma que menciona Rick Decker. Sin embargo, tiendo a estar de acuerdo con @joriki en que este enfoque supone que el ABC es equilátero desde el principio y luego se rota y se encoge/expande. La única información que aporta mi pregunta es que los segmentos CD, BE y AF tienen la misma longitud; si de esto se puede concluir que DEF y ABC comparten un centro, entonces tus observaciones serían aplicables y la prueba estaría completa. ¿O he interpretado mal? Gracias por su interés en mi pregunta.

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