En coordenadas polares/cilíndricas, ¿ $r dr d\theta=r d\theta dr$ ? Por ejemplo, creo que la integral del área de un semicírculo viene dada por $$\int_0^1\int_0^{\pi}{rd\theta dr}.$$
¿Cuál sería esta integral si se invirtiera el orden? Me resulta difícil de visualizar tomando $dr$ primero.
El orden de integración no es importante cuando las otras variables de integración no aparecen en los límites, por lo que normalmente se pueden reordenar las integrales a nuestro gusto. Sin embargo, si una función de $\theta$ apareció en el $r$ -límites del integral, se vería obligado a hacer el $r$ integral primero.
No sé por qué te resulta difícil hacer el $r$ integral primero, sin embargo. Haciendo la $\theta$ integral primero es como trazar todo el círculo en un radio fijo y luego integrar sobre todos los radios. Hacer la $r$ integral primero sólo traza una línea recta que luego integra alrededor de un círculo completo.
El orden no importa, excepto cuando se evalúa por integrales múltiples se supone que se evalúa la interna $dx_{i}$ primero, y luego la segunda integral indexada por $dx_{j}$ etc.
Así que para su ejemplo, el área del medio círculo es la misma que $$\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{R}rdr\right)d\theta=\int^{\pi}_{0}\frac{1}{2}R^{2}\theta d\theta=\frac{\pi}{2}R^{2}$$
O $$\int^{R}_{0}\left(\int^{\pi}_{0}d\theta\right)rdr=\int^{R}_{2}\pi rdr=\frac{\pi}{2}R^{2}$$
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