Acotar el campo de coeficientes de Fourier

Question

Dejemos que $f = \sum_n a_n q^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ sea una nueva forma normalizada, no CM, de peso $N \geq 1$ y el nivel $2$ . Sea $K_f := {\mathbb Q}(\{a_n\}) \subset {\mathbb C}$ sea el campo numérico generado por sus coeficientes de Fourier.

Me preguntaba si hay un límite conocido para el discriminante $\Delta_{K_f}$ de $K_f$ en términos de $N$ y (posiblemente) la dimensión del campo $K_f$ ?

No pasa nada si este es un vínculo terrible. Sólo necesito "cualquier" vínculo.

Answer 1

Aquí hay un acercarse a para un realmente mala con la que se ha de contar.

Actualizado a continuación basado en los comentarios y en la reflexión posterior, pero que sigue dando una muy mala atadura.

1. Primero, $K_f$ está contenido en el campo generado por los valores propios de los operadores de Hecke $T_1$ , ..., $T_m$ , donde $m$ está dada por el límite de Sturm.

2. Utilizando los límites de Deligne sobre el tamaño de los valores propios de Hecke de $T_n$ se puede acotar el discriminante del campo numérico $K_n$ que se obtiene uniendo todos los valores propios de $T_n$ a $\mathbb Q$ .

3. Ahora puedes utilizar esos límites discriminantes para acotar el discriminante del campo numérico compuesto $K = K_2 K_3 \dots K_m$ que da un límite al discriminante de $K_f$ .

Esto dará un límite que crece mucho más rápido que exponencialmente en $N$ .