¿De cuántas maneras se pueden colorear 64 cuadrados de un $8 \times 8$ tablero de ajedrez con rotación libre (sin espejo)?

Question

¿De cuántas maneras se pueden colorear 64 cuadrados de un $8 \times 8$ tablero de ajedrez con libre rotación (sin espejo)?

No estoy entendiendo el teorema de Burnside realmente. Tengo $\frac{1}{4} (1 \times 2^{64} ...)$ pero no sé cómo calcular los otros números...

Answer 1

El grupo $\mathbb Z_4$ actúa en el tablero de ajedrez por rotación. Entonces sabemos que:

• $\bar 0$ arregla todo, así que tenemos $|X_e| = 2^{64}$
• $\bar 1$ fija las coloraciones determinadas por uno de los $4x4$ subtablas, por lo que tenemos $|X_1| = 2^{16}$
• $\bar 2$ es similar, pero ahora el $4x8$ rectángulo determina la coloración, por lo que $|X_2| = 2^{32}$
• $\bar 3$ es idéntica a $\bar 1$ , por lo que tenemos $|X_3| = 2^{16}$

Aplica el teorema, $$|X/G| = \frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} |X_g| = \frac 1 4 (|X_0| + |X_1| + |X_2| + |X_3|)$$ $$= \frac{1}{4} (2^{64} + 2\times2^{16} + 2^{32}) = 2^{62} + 2^{15} + 2^{30}$$