Teorema de la intersección de Cantor

Question

Si los subconjuntos del espacio compacto ya son no vacíos, ¿no es obvio que incluso el subconjunto más pequeño es no vacío, y por tanto la intersección también es no vacía porque sería el conjunto más pequeño? ¿Qué punto me estoy perdiendo aquí? Entiendo la prueba en la wikipedia pero me falta algo crucial aquí.

Answer 1

¿Por qué hay un conjunto más pequeño?

Consideremos la familia de intervalos $[-1,\frac1n]$ para $n\in\Bbb N\setminus\{0\}$ . Para cada intervalo de nuestra familia, hay un intervalo estrictamente más pequeño en nuestra familia de intervalos. Se podría argumentar que $[-1,0]$ su intersección, está en la familia, pero no lo está.

Answer 2

Otro ejemplo podría ser $A_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n}, \sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]\cap\mathbb{Q}$ . La intersección está vacía, porque no hay ningún número racional fijo arbitrariamente cercano a $\sqrt{2}$ , pero cada $A_n$ es claramente no vacía. $$\bigcap_{n\geq1}A_n=\varnothing$$ ¿Cómo falla esto la hipótesis del teorema de la intersección de Cantor?