Así que tienes
$${\frac{n}{2^i}=1}$$
Multiplicando ambos lados por ${2^i}$ se obtiene
$${\Rightarrow \frac{n}{2^i}\times 2^i = 1\times 2^i}$$
Puede cancelar el ${2^i}$ en el lado izquierdo, lo que nos da
$${n=2^i}$$
Ahora - queremos alguna manera de convertir ${2^i}$ en sólo ${i}$ . ¿Cómo lo hacemos? Bien, aplicando ${\log}$ base ${2}$ a ambos lados nos da
$${\Rightarrow \log_2(n) = \log_2(2^{i})}$$
El lado derecho, por la definición del Logaritmo está diciendo "qué número subo ${2}$ para conseguir ${2^i}$ ?" Claramente, la respuesta es $i$ . Y así
$${\Rightarrow i=\log_2(n)}$$
Editar : Así que técnicamente, el Logaritmo en el libro también debería ser de base ${2}$ Sin embargo, creo que puede haberlo dejado fuera para ${2}$ posibles razones:
(1) Como usted dice, en muchos lugares ${\log}$ sin una base especificada suele referirse a la base ${10}$ Sin embargo, los matemáticos también utilizan ${\log}$ sin una base especificada para significar la base ${e}$ (donde $e$ es el número de Euler - no se preocupe si no sabe lo que es) - podría ser que el autor sólo esté usando ${\log}$ sin base para significar base $2$ (poco probable, creo, pero posible).
(2) Me di cuenta de que hablaba de grandes $O$ notación. En los grandes $O$ notación, realmente no importa si es ${O(\log_2(n))}$ , ${O(\log_{10}(n))}$ etc. Una propiedad del Logaritmo es que
$${\log_{a}(n) = k\times \log_{b}(n)}$$
Es decir, la función logarítmica en una base puede escribirse como un múltiplo escalar (un número cualquiera) multiplicado por el logaritmo de otra base. Y en grandes $O$ notación
$${k\times O(f(n)) = O(f(n))}$$
Así que realmente no importa la base que pongas (siempre que la base sea, por supuesto, positiva). En última instancia, la elección es arbitraria en grandes $O$ notación, y muchas veces la gente simplemente escribe ${\log}$ con la base omitida. Supongo que en cierto sentido, se podría decir que sólo hay realmente una función logarítmica, y la base sólo afecta realmente a qué múltiplo de ella se toma.
