Demostrar que $\left(\prod\limits_{2<p}^{p_i} \frac{p-1}{p}\right) \cdot \left( p_{i + 1}^2 - p_i^2 \right) \geq \pi(p_{i + 1}^2) - \pi(p_i ^2)$

Question

Conjetura:

$$\left(\prod_{2<p}^{p_i} \frac{p-1}{p}\right) \cdot \left(p_{i + 1}^2 - p_i^2 \right) > \pi(p_{i + 1}^2) - \pi(p_i ^2) \tag{1}$$

La expresión del lado izquierdo es el producto del tercer teorema de Mertens truncado en $p_i$ (posteriormente sólo $M_x$ para el truncamiento en $x$ ) por la longitud del intervalo entre los cuadrados de $p_i$ y $p_i+1$ y el lado derecho es el actual número de primos entre esos cuadrados. Por ejemplo, para $p_i = 7$ la expresión es:

$$\frac{8}{35} \cdot \left(11^2 - 7^2\right) > \pi(121) - \pi(49)$$

Y de hecho $16.46 > 15$ . Desigualdad $(1)$ es (quizás sorprendentemente) empíricamente verdadero para todos $p_i$ . La desigualdad parece intuitivamente probable que sea cierto, ya que esperaríamos que el resultado de $M_xx^2$ sea mayor que $\pi(x^2)$ simplemente porque $e^{-\gamma} > \frac12$ y por lo tanto

$$\pi(x^2) \sim \frac{x^2}{\log x^2} = \frac12\frac{x^2}{\log x} < e^{-\gamma}\frac{x^2}{\log x} \tag{2}$$

(Desigualdad $(2)$ es empíricamente cierto sólo por encima de $x \approx 100$ porque la diferencia entre $M_x \log x$ y $e^{-\gamma}$ es grande para los pequeños $x$ )

Podemos mostrar ( mucho más fácil de lo que esperaba, en esta pregunta en la que suspendí brevemente el álgebra básica ) que la densidad de primos entre $p_{i-1}^2$ y $p_i^2$ es menor que la densidad de primos entre $0$ y $p_i^2$ Es decir:

$$\frac{\pi\left(p_{i+1}^2) - \pi(p_i^2\right)}{p_{i+1}^2 - p_i^2} < \frac{\pi(p_i^2)}{p_i^2} \tag{3}$$

Con esto, esperamos que la diferencia entre el LHS y RHS de $(1)$ sea mayor que $(2)$ solo implicaría.

Pero... Estoy más o menos 110% seguro de que $(2)$ y $(3)$ juntos no califican como prueba . Ellos puede ser la prueba del comportamiento asintótico como $p_i \to \infty$ pero me pregunto si esto puede ser (o ya ha sido) probado para valores más pequeños. ¿Algún enlace o idea de la comunidad?

Answer 1

$\prod \limits_{2\leq p \leq p_i } (1-\frac{1}{p}) (p_{i+1}^2-p_{i}^2) \geq li(p_{i+1}^2)-li(p_{i}^2)$ para todos $i \geq 4$

Al notar que $ \prod \limits_{2\leq p \leq p_i } (1-\frac{1}{p}) (p_{i+1}^2-p_{i}^2) \approx \frac{e^{-\gamma}}{\ln p_i} (p_{i+1}^2-p_{i}^2)\geq \frac{p_{i+1}^2-p_{i}^2}{2\ln p_i}\geq \int \limits_{p_{i}^2}^{p_{i+1}^2} \frac{dt}{\ln t}=li(p_{i+1}^2)-li(p_{i}^2)$

Si asumes R.H. y dejas que $ p_{i+i^{\epsilon}}^2-p_{i}^2$ con $i^{\epsilon} = O(\ln^k i)$ para $ k \geq 2$ entonces desde $ |\pi(x)- li(x)| \leq \sqrt{x} \ln x$ esto implicaría la corrección de su conjetura para todos $ i\geq 3000$ más o menos según la elección de $k$ .

Pero sin R.H. no veo la manera.

Answer 2

$(2)$ y $(3)$ pueden combinarse para formar una prueba de la "para un tamaño suficientemente grande $i$ y todo lo demás se puede comprobar con un programa informático. $$\frac{\pi\left(p_{i+1}^2) - \pi(p_i^2\right)}{p_{i+1}^2 - p_i^2} < \frac{\pi(p_i^2)}{p_i^2}= \frac{\pi(p_i^2)\cdot \log{p_i^2}}{p_i^2}\cdot \frac{1}{\log{p_i^2}}\leq ...$$ de PNT para un tamaño lo suficientemente grande $i$ tenemos $\frac{\pi(p_i^2)\cdot \log{p_i^2}}{p_i^2}\leq 1+\varepsilon$ Por lo tanto $$...\leq \frac{1+\varepsilon}{2\log{p_i}}= \frac{e^{\gamma}(1+\varepsilon)}{2(1-\varepsilon)}\cdot \frac{e^{-\gamma}\cdot (1-\varepsilon)}{\log{p_i}}\leq ...$$ de Tercer teorema de Mertens para un tamaño lo suficientemente grande $i$ tenemos $\prod\limits_{p_i\leq p}\frac{p-1}{p}\geq\frac{e^{-\gamma}\cdot(1-\varepsilon)}{\log{p_i}}$ Por lo tanto $$...\leq \frac{e^{\gamma}(1+\varepsilon)}{2(1-\varepsilon)}\cdot\left(\prod\limits_{p_i\leq p}\frac{p-1}{p}\right) \tag{4}$$ Lo que queda es encontrar un $\varepsilon>0$ tal que $$\frac{e^{\gamma}(1+\varepsilon)}{2(1-\varepsilon)}<1 \iff 1+\varepsilon < \frac{2}{e^{\gamma}}\cdot(1-\varepsilon)$$ que funciona para $e\leq0.01$ (es fácil ver que $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$ es ascendente).