Me pregunto qué significa decir: "La apuesta vale la pena $x$ dólares".
¿Significa el resultado esperado \value es $x$ ¿dólares?
En la foto (última frase del párrafo) dice que "la apuesta vale 2 dólares mucho más realistas".
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No leo que se mencione la palabra "dólar". Si miras la tabla no hay signos de dólar en la fila de la utilidad. La utilidad no tiene unidad. Pero se pueden transformar los dólares en utilidad, y viceversa.
La función de utilidad es $U(x)=\log_2(x)+2$ , donde $x$ es la ganancia en dólares. Por ejemplo, si la ganancia es 4, la utilidad correspondiente es $U(4)=\log_2(4)+2=2+2=4$ .
La utilidad de las ganancias para la secuencia $y$ es $U(y)=y+1$ . La probabilidad correspondiente es $p(y)=\left(\frac12\right)^y$ .
Por lo tanto, la utilidad esperada es $\mathbb E(U(y))=\sum\limits_{y=1}^{\infty }p(y)\cdot u(y)=\sum\limits_{y=1}^{\infty }\left(\frac12\right)^y \cdot (y+1)=3$
Pero el valor esperado de las ganancias (en dólares) es $\mathbb E(w)=\sum\limits_{x=1}^{\infty }p(x)\cdot u(x)=\sum\limits_{x=1}^{\infty }\left(\frac12\right)^x \cdot (x+1)=\infty$
El valor esperado de las utilidades sí converge. Una de las razones principales es que la función de utilidad marginal $(U'(x))$ es decreciente. Pero el valor esperado de las ganancias no converge.
dice que "la apuesta tiene un valor mucho más realista de 2 dólares.
Obtendrá ese número si inserta el valor de la utilidad esperada ( $\mathbb E(U)=3$ ) en la ecuación $U(x)=\log_2(x)+2$ . A continuación, resuelva la ecuación para $x$ .
