Definición de ángulo construible

Question

Mientras estudiaba un curso sobre teoría de campos, mi profesor dio la definición de ángulo construible como

Un ángulo $\theta (0\leq\theta\leq2\pi)$ se dice que es construible, si la longitud $\cos\theta$ es construible.

Después de buscar un poco en libros de texto y de referencia (y también en Internet), encontré una definición más:

Un ángulo $\theta$ se dice que es construible si es posible construir dos líneas de intersección que formen un ángulo de $\theta$

Sin embargo, la siguiente definición parece más natural, pero sorprendentemente no aparece en ningún libro de texto estándar

Editar

Un ángulo $\theta$ se dice que es construible, si se puede construir con regla y compás.

¿Hay algún problema con esta definición? Si es así, ¿alguien puede explicarlo?

-- Mike

Answer 1

Contrariamente a algunos comentarios, yo no llamaría circular a la "definición" propuesta de un ángulo construible, sino que sería decir que es inútil para su propósito declarado.

Cuando utilizamos la palabra "construible", nos hacer es necesario decir más específicamente lo que queremos decir con ello, ya que la elección de las herramientas determina lo que podemos construir. (Incluso los antiguos griegos clasificaban las construcciones en función de las herramientas que se utilizaban). Pero una vez que decidimos que queremos construcciones con regla y compás, decimos: "Se dice que un objeto es construible si se puede construir con regla y compás". Ahora es trivial sustituir "un ángulo $\theta$ " por el más general "un objeto", pero hasta que no digamos qué significa construir un ángulo con regla y compás, la definición es de poca utilidad.

De ahí que veamos que los libros de texto explican el "ángulo construible" utilizando una descripción mucho más específica de cuáles serían exactamente los resultados de dicha construcción. (Las dos definiciones dadas describen objetos construidos diferentes, pero pueden considerarse equivalentes, ya que se puede obtener fácilmente el objeto descrito en cualquiera de las dos definiciones a partir del objeto descrito en la otra).