¿Cuántos homomorfismos hay de $(\mathbb Q^+ , \,\cdot\,)$ a $(\mathbb Z_n , +)$ ?
¿Alguien podría dar una pista de cómo proceder? No he podido ni empezar
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Definitivamente hay homomorfismos no triviales de $\mathbb Q^+$ a $\mathbb Z_n$ .
Para ver esto, observe que todo número racional positivo tiene una "descomposición primaria con potencias negativas" única hasta el orden. Por ejemplo, $\frac{24}{35} = 2^{3}3^{1}5^{-1}7^{-1}$ . Por lo tanto, como se especifica en un comentario en la respuesta borrada arriba/abajo, $\mathbb Q^+$ bajo la multiplicación es isomorfo a un subgrupo de $\displaystyle\oplus_{p \ \mathrm{ prime}} \mathbb Z$ mediante el mapeo de cada número racional, a la tupla infinita (con entradas finitas) de qué potencia de cada primo ocurre en su descomposición.
En consecuencia, todo homomorfismo de este tipo es únicamente determinado por lo que hace en los números primos. He aquí por qué : escribamos $p_1 < p_2 < p_3 < ...$ como la secuencia infinita de números primos, y supongamos que tenemos un número $\frac{p}{q} = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} ...$ donde $\alpha_i$ es una secuencia de enteros que se hace cero después de algún tiempo, entonces por la propiedad de homomorfismo : $$ \phi\left(\frac pq\right) = \phi\left(\prod p_i^{\alpha_i}\right) = \sum \alpha_i\phi(p_i) $$
donde la suma es finita ya que $\alpha_i$ es finalmente cero.
En consecuencia, para definir un homomorfismo, basta con decir lo que hace en los números primos.
Por ejemplo, dejemos que $\phi$ sea el único homomorfismo tal que $\phi(2) = \bar 1$ y $\phi(p) = \bar 0$ para todos los primos $p$ mayor que $2$ .
Entonces, para cualquier racional $\frac pq$ , $\phi\left(\frac pq\right)$ es igual a $\bar r$ , donde $\frac{p}{q} = 2^r3^s....$ Puedes comprobar que se trata de un homomorfismo.
Puede ignorar esto si no sabe lo que significa la contabilidad.
Si quieres el número exacto de homomorfismos, entonces esto también está claro : cada número primo (contablemente muchos números primos) es mapeado a uno de $n$ elementos libremente (donde $n$ es finito).
Por tanto, se concluye que el número de homomorfismos es contable (el número contable de elecciones finitas equivale a una elección contable), y definitivamente infinito, por tanto contablemente infinito.
Como nota al margen, la respuesta eliminada, que se refiere al orden de los elementos, tiene sentido para los homomorfismos en el frente a dirección, es decir, desde $\mathbb Z_n$ a $\mathbb Q^+$ . De hecho, si $\psi$ es un homomorfismo, entonces que $\psi(1) = q$ para algunos $q$ . Así, $\psi(0) = \psi(1 + 1 + ... + 1) = \psi(1) \cdot ... \cdot \psi(1) = q^n$ . Por lo tanto, $q^n = 1$ para algunos racionales $q$ Esto obliga a $q = 1$ .
Por lo tanto, $\psi(l) = 1$ por cada $l \in \mathbb Z_n$ Por lo tanto $\psi$ es trivial.
