topología de orden y topología discreta

Question

Tengo esta pregunta de deberes. Considere el conjunto $X = \{1,2,3\}$ .

$(a)$ Con el orden natural en $X$ , encontrar la base de su topología de orden,

$(b)$ Demuestre que la topología de orden en $X$ es igual a su topología discreta.

Supongo que el orden natural es $1<2<3$ para que $1$ el es el menor elemento y $3$ es el elemento más grande, entonces $B=\{[1,3),(1,3),(1,3]\}$ es la base de la topología de orden en $X$ .

Para la parte $(b)$ Me gustaría escribir $B=\bigg\{\{1,2\},\{2\},\{2,3\}\bigg\}$ pero veo que no va a satisfacer. Necesito ayuda.

Gracias.

Answer 1

Espero que estemos trabajando con la misma definición de topología de pedidos .

Según esta definición, la base contiene todos los intervalos $(a,b)$ , $(a,\infty)$ , $(-\infty,b)$ . (Por supuesto, la base de un espacio topológico no se determina unívocamente, pero ésta es la de la definición). Como este conjunto tiene el elemento mayor y el menor, se pueden reescribir como (a,b), (a,3], [1,b).

Dado que, [1,2)={1}, (1,3)={2}, (2,3]={3}, la base contiene todos los singletons y por lo tanto el espacio es discreto.