Aquí es una manera de ver directamente que la satisfacción de la relación de $M\models\varphi[a]$ ha complejidad $\Delta_1$ en el conjunto de la teoría. Esta relación se define (por Tarski) por inducción sobre la complejidad de $\varphi$. Por lo tanto, podemos decir que el $M\models\varphi[a]$ si y sólo si existe una función de mapeo de las fórmulas y de los puntos en $M$ a el conjunto {satisfecho no satisfecho}, que satisface las inductivo propiedades de Tarski de la definición (de forma que las fórmulas atómicas son correctamente satisifed, la satisfacción de la relación en la negación invierte la respuesta, la relación en combinaciones Booleanas funciona correctamente y la relación de los cuantificadores funciona correctamente). Estos requisitos, en la satisfacción de la relación S tienen la complejidad de la $\Delta_0$, ya que sólo necesitamos quantifiy$S$, $M$ y más de los números naturales (los códigos de las fórmulas). Además, uno puede demostrar que no hay una única satisfacción de la relación, por lo $M\models\varphi[a]$ si y sólo si hay una satisfacción en relación demostrando esto, si y sólo si todas la satisfacción de las relaciones de mostrar esto. De modo que la satisfacción de la relación es $\Delta_1$.
Funciona de la misma por cualquier teoría, tales como ZFC como en tu pregunta, ya que esto sólo añade un cuantificador más de los números naturales (por cada axioma, está satisfecho), que está limitada y por lo tanto no aumenta la complejidad más allá de $\Delta_1$.
Por lo tanto, ser un modelo de una determinada afirmación o teoría de la es $\Delta_1$ y, por tanto, absoluta, en el sentido de que puede haber tenido en mente. Por ejemplo, en el modelo de la teoría de conjuntos estarán de acuerdo con todas sus obligando a las extensiones de interior y modelos acerca de si un determinado conjunto de la estructura es un modelo de ZFC.
Adenda. Pero hay otro sentido sutil en que el ser un modelo de ZFC no es absoluta. Por ejemplo, supongamos que $M$ es un modelo de $ZFC+\neg Con(ZFC)$, por lo que el $M$ piensa que no hay modelos de ZFC. Así que este modelo $M$ debe tener no estándar de números naturales, ya que de lo contrario tendría el mismo las pruebas de ZFC como hacemos y por lo que se daría cuenta de que ZFC es consistente. Dentro de $M$, podemos enumerar los axiomas de lo $M$ piensa como ZFC (esto incluye no estándar instancias de los axiomas). En $M$, considera el más grande del segmento inicial de los axiomas que $M$ piensa que si es cierto en algunas rango del segmento inicial de $(V_\alpha)^M$. Por el teorema de Reflexión, esto incluye todos los segmentos inicial. Por lo tanto, lo $M$ piensa que es la más realizable segmento inicial de los axiomas tiene no estándar de la longitud. Y así el conjunto correspondiente $(V_\alpha)^M$ satisface todas las instancias de los axiomas de ZFC. Es decir, lo que realmente es un modelo de ZFC, sino $M$ no cree que lo es, porque $M$ cree que algunos de los anormales son los axiomas no es verdad no hay. Así que este es un ejemplo de no-absoluto, donde los dos universos de la teoría se puede estar en desacuerdo acerca de si una determinada estructura es un modelo de ZFC o no.
