Ecuaciones diferenciales y método de Newton

Question

¿Cómo puedo abordar esta cuestión?

Para el problema uno esto es lo que hice: Dado el DE, $$p'(x) = p''(x) + \left(2\pi*\frac{f}{c}\right)^2p(x) = 0,$$ y su solución, $p(x) = \sin(kx)$ , he sustituido las cosas de la derecha del DE para obtener $$p'(x) = -\sin(kx)\,k^2 + \cos(kx) + \left(2\pi*\frac{f}{c}\right)^2 \sin(kx) = .0$$ Entonces, conecté $x=0$ para conseguir $\cos(kx) = 0$ .

Mi respuesta no depende de $f$ y $c$ en absoluto, que es lo que pide la pregunta.

¿Cuál es el enfoque correcto para resolver $k$ ? Además, para la condición inicial $p(0) = 0$ no debería ningún valor de $k$ trabajo porque siempre obtendrá $\sin(0) = 0$ ?

Problema 1: Fonética

La forma del tracto vocal tiende a favorecer ciertas frecuencias sonoras. Por ejemplo, para producir la primera vocal de la palabra about, el tracto vocal se abre ampliamente. El área de la sección transversal de todo el tracto vocal es aproximadamente la misma y puede modelarse mediante un cilindro con un extremo abierto (los labios) y el otro cerrado (la glotis/las cuerdas vocales).

Dejemos que $p(x)$ denotan la presión sonora en la posición x dentro del cilindro a partir de los labios, $x=0$ y que termina en la glotis, $x=L$ , donde $L$ es la longitud del tracto vocal. Entonces $p(x)$ satisface la ecuación diferencial $$ p''+(2fc)2p=0\tag{$ * $}$$ con condiciones en el punto final $p(0)=0$ y $p'(L)=0$ . Esto se llama un problema de valor límite. $f$ es la frecuencia del sonido producido, y $c$ es la velocidad del sonido.

Demuestra que $p(x)=\sin(kx)$ resuelve la ecuación diferencial y la primera condición de contorno ( $p(0)=0$ ) cuando $k$ se elige correctamente. ¿Qué valor de $k>0$ asegura que esta función es una solución? Su respuesta dependerá de $f$ y $c$ .

Utilice la segunda condición de contorno $p'(L)=0$ para determinar las frecuencias $f$ que el tracto vocal puede producir. Nota: su respuesta debe expresarse en términos de un número entero $n$ para que se produzcan infinitas frecuencias. Su respuesta también dependerá de $L$ y $c$ .

Problema 2: Ecuaciones diferenciales de tercer orden y método de Newton

Estamos tratando de resolver la ecuación diferencial de tercer orden $$y'''+3y''y=0. \tag{$ ** $}$$ Inspirándonos en resultados anteriores del curso, suponemos que la solución de esta ecuación diferencial podría ser $y=Ae^{kx}$ donde A y k son constantes. Demostrar que introduciendo esta conjetura en la ecuación diferencial obtenemos una ecuación para $k$ : $k_3+3k_21=0$ .

Encuentra la raíz positiva de esta cúbica utilizando tres iteraciones del método de Newton y escribe una solución para $()$ . Sugerencia: trace su cúbica para obtener un punto de partida para el método de Newton

Answer 1

Se le pide que encuentre una relación entre $k$ y $f$ y $c$ . $\sin{(kx)}$ fue dado para mostrarle el formulario de la ecuación, pero ahora se le pide que determine exactamente qué $k$ debe ser en este caso, en términos de las otras cantidades del problema.

Para ello, genere las derivadas necesarias de $\sin{(kx)}$ y sustituirlos en la segunda parte de la ecuación (no sé de dónde has sacado el $p'$ de la parte, ya que no se dio en el problema de abajo). Ahora determine cómo establecer el valor de $k$ para que la ecuación sea siempre verdadera (pista: $\sin$ no siempre será $0$ por lo que la otra parte debe ajustarse a $0$ ).

Una vez que haya sustituido $k$ con las cantidades del problema original, en realidad estás en el camino correcto con respecto a las condiciones de contorno: encontrarás que una función trigonométrica debe ser cero, así que ¿qué valores del argumento satisfarán esa condición?

El segundo problema son las mismas técnicas aplicadas de nuevo, sólo que a ecuaciones de una forma diferente.

Answer 2

Usted ha escrito que la ED está en la forma $p'(x)=p''(x)+(2\pi*\frac fc)^2p(x)=0$ pero en el "Problema 1:Fonética" se indica como $p''(x)+(2\pi fc)2p(x)=0$ ?

que creo que es un error, ya que después de recorrer el problema el debe ser $p''(x)+(\frac{2\pi f}{c})^2p(x)=0$ ya que el seno y todas las funciones trigonométricas son Funciones trascendentales deben tener un argumento adimensional, que sólo se puede lograr a través de la forma anterior, y el cuadrado sólo hace que el problema sea más agradable.

Ahora tiene el problema en forma de $$ p''(x)+k^2p(x)=0 $$ Esta es una ODE extremadamente importante que aparecerá en todas partes en tu carrera de matemáticas. Voy a dar una rápida introducción, pero para una versión más detallada echa un vistazo aquí

Se puede suponer una solución de $p(x)=Ae^{nx}$ como todos los DE de segundo orden y superiores, pero cuando se sustituye en la ecuación se queda con $n^2+k^2=0$ ¿Ves el problema? Terminarás con raíces complejas para n que te darán $$ p(x)=Ae^{ikx} $$ que si has hecho algún análisis complejo sabrás que se puede escribir como $p(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$ mediante la identidad de Euler. Así que, teniendo esto en cuenta, la solución al problema de la sección de Fonética puede escribirse como $$ p(x)=A\sin\left(\frac{2\pi fx}{c}\right)+B\cos\left(\frac{2\pi fx}{c}\right) $$ Obsérvese que el argumento es adimensional, de todos modos ahora se pueden utilizar las condiciones de contorno $p(0)=0$ y $p'(L)=0$ . El primer BC eliminará el término cos ya que $B=0$ . Ahora te queda $$ p'(L)=\frac{A2\pi f}c \cos\left(\frac{2\pi fL}{c}\right)=0 $$

La constante A puede ser igual a cero, pero esto le daría una solución trivial, así que si deja que $cos\left(\frac{2\pi fL}{c}\right)=0$ se puede aprovechar la periodicidad de la función coseno. Si graficas la función coseno sabes que habrá una raíz en cada $\frac{(2n+1)\pi}{2}$ donde n es un número entero. Por lo tanto, se puede dejar que el argumento de la función coseno sea igual a $\frac{(2n+1)\pi}{2}$ y resolver la frecuencia.

Por último, debe notar que $\frac{(2n+1)\pi}{2}$ es verdadera para todos los valores enteros de n y se puede utilizar para escribir la frecuencia como una solución en serie infinita.

Uso del problema 2 Método de Newton para resolver el polinomio $k^3+3k-1=0$ este es un problema numérico sencillo, utiliza la fórmula definida en el enlace. Cuando elijas un valor inicial, traza la función en matlab o wolfram alpha y busca un intervalo pequeño que contenga la raíz.