Demostrar que si $n \cdot 2^{-t} <0.01$ entonces $n \cdot 2^{-t} <\frac{1}{101}$

Question

¿Es cierto el siguiente teorema?

Si $n \cdot 2^{-t} <0.01$ entonces $n \cdot 2^{-t} <\frac{1}{101}$ para $t,n \in \mathbb{N}$ .

He intentado la inducción básica pero eso no me ha llevado a ninguna parte, lo mismo que pensar en un contraejemplo.

Answer 1

Encontremos t tal que si $2^{-t}$ es fijo y $n$ se incrementa uno a uno desde $0$ , $n2^{-t}$ satisfará la desigualdad $1/101<n2^{-t}<1/100$ . Si existen tales t y n, es evidente que el teorema no es cierto. Es evidente que si $n$ se incrementa uno a uno, $n2^{-t}$ satisface la desigualdad anterior en algún valor de $n$ si $2^{-t}$ es menor que

$1/100-1/101=1/10100$ .

Desde $2^{-13}>1/10100>2^{-14}$ , si $t=14,$ debe haber algún $n$ tal que $1/101<n2^{-t}<1/100$ . Esto es suficiente como prueba para refutar el teorema.

Answer 2

1/100 > 1/101

Ya que, su ecuación es < 1/100, puede ser <= 1/101

su n⋅2-t <= 1/101 < 1/100

Answer 3

Tu afirmación no es correcta. Lo que dices es que si n⋅2^-t<0.01<1/101 y eso no puede ser cierto. Porque 1/101 es siempre menor que 0,01. Así que si n,t son más pequeños que 0,01 no significa automáticamente que también sea más pequeño que 1/101

Lo correcto es: si n⋅2^-t<1/101 entonces n⋅2^-t<0,01