Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ , como $x \to x_0$ ¿podemos decir siempre $f(x) \to f(x_0)$

Question

Suponiendo que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Como $x$ se acerca a $x_0\ $ es decir $(x\to x_0)$ ¿podemos decir siempre $f(x)$ se acerca a $f(x_0)\ $ es decir $(f(x)\to f(x_0))$ ? Por lo que tengo entendido, esta es la motivación del $\epsilon$ - $\delta$ definición de límite.

El $\epsilon-\delta$ La definición establece que $\forall \epsilon$ , $\exists \delta$ tal que..:

$0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$ . Para cualquier valor de $\epsilon$ si puedo proporcionar un $\delta$ entonces $L$ es el límite de $f(x)$ en $x_0$ .

El enfoque es aparentemente una idea informal, y no lo que define el límite. Así que la idea de $f(x)$ acercándose a $f(x_0)$ , como $x$ se acerca a $x_0$ es inexacto y no siempre es cierto.

Actualización: La afirmación es aparentemente cierta, cuando $f(x)$ es continua en $x_0$ . Aunque todavía no he podido encontrar una prueba general para ello.

Answer 1

Sí. Si $\lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L$ entonces para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ de manera que siempre que $|h|<\delta$ entonces $|f(x_0+h)-L|<\varepsilon$ .

Esto significa que, para el mismo valor de $\varepsilon$ y $\delta$ , si $|x-x_0|<\delta$ entonces, estableciendo $h=x-x_0$ tenemos $|f(x)-L|=|f(x_0+h)-L|<\varepsilon$ por lo que la definición de $f(x)\to L$ como $x\to x_0$ se satisface.

Tenga en cuenta que esto es en realidad un poco más fuerte que decir $f(x)\to L$ como $x\to x_0$ , como $\lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L$ también implica que $f(x_0)=L$ mientras que en la definición de " $f(x)\to L$ como $x\to x_0$ "no importa si $f(x_0)$ existe (o, si existe, qué valor tiene).