Hace $(x+1)\log{(x+1)}-2x\log{x}+(x-1)\log{(x-1)}\geq\frac{1}{x}$ mantener para $x\geq 1$ ?

Question

Mientras calculaba algunas integrales me encontré con la siguiente estimación: $$\int_m^{m+1}\int_n^{n+1}\frac{dy dx}{x+y}\geq\frac{1}{m+n+1}.$$ Después de algunos cálculos tediosos, deduje que esta estimación se desprende de la desigualdad $$ (x+1)\log{(x+1)}-2x\log{x}+(x-1)\log{(x-1)}\geq\frac{1}{x}\quad\text{for }x>1.$$ (Si interpretamos $0\log0$ como $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \epsilon\log{\epsilon}=0$ entonces la desigualdad también es válida para $x=1$ .)

Pero, ¿cómo demostramos esta desigualdad?

Lo que he probado : Dejemos que $f(x)=x\log{x}-(x-1)\log{(x-1)}$ para $x>1$ . Entonces el lado derecho es igual a $f(x+1)-f(x)$ por lo que por el Teorema del Valor Medio existen algunas $\xi$ entre $x$ y $x+1$ tal que $$f(x+1)-f(x)=f'(\xi)=\log{\left(1+\frac{1}{\xi-1}\right)},$$ y basta con demostrar que $\log{(1+\frac{1}{x})}\geq\frac{1}{x}$ ... ¡que lamentablemente no es válido!

Creo que un uso inteligente del MVT puede resolver este problema, pero no veo cómo debo proceder. Por favor, ilumínenme.

Answer 1

Dejemos que $f(x)=(x+1)\ln{(x+1)}-2x\ln{x}+(x-1)\ln{(x-1)}-\frac{1}{x}$ .

Por lo tanto, $f''(x)=\frac{2}{x^3(x^2-1)}>0$ para $x>1$ y el resto es suave.

Porque $f'(x)=\ln(x-1)-2\ln{x}+\ln(x+1)+\frac{1}{x^2}<\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0$

y $f(x)>\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\ln\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}}{\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{x-1}}=\ln\frac{e}{e}=0$