Función medible en $X\times Y$

Question

Dejemos que $f$ y $g$ dos funciones medibles definidas en $X$ y $Y$ espacio de medida, con valores complejos. Tengo que demostrar que la función $f(x-y)g(y)$ definido en $X\times Y$ es medible con respecto al producto sigma-álgebra.

Answer 1

Una pista: $X$ y $Y$ tienen que ser subespacios de un espacio vectorial para $x-y$ para que tenga sentido.

La función definida $h$ en $X\times Y$ por $h(x,y)=x-y$ es continua y por tanto mesurable, por lo que $f'(x,y)=f(x-y)$ es medible ya que es la composición de funciones medibles.

$(f',g):X\times Y\rightarrow C\times C$ es medible ya que el producto de funciones medibles es medible

El producto $C\times C\rightarrow C$ es medible. Se puede escribir $f(x-y)g(y)$ como una composición de funciones medibles, por lo que es medible.