En una competición internacional de atletismo, hay cinco atletas de Estados Unidos, cuatro de Rusia, tres de Francia y uno de Alemania. ¿Cuántas clasificaciones de los 13 atletas hay cuando
b) ¿Sólo se cuenta la nacionalidad y todos los atletas estadounidenses terminan por delante de todos los rusos?
¿La respuesta sería C(13, 9) * P(8; 4, 3, 1)?
SUGERENCIA: Las clasificaciones para esta competición son simplemente arreglos de los 13 atletas. Como sólo se cuenta la nacionalidad, hay $\frac{13!}{5!4!3!}$ posibles clasificaciones (y 13 rangos posibles). Hay $5!$ posibles clasificaciones entre los americanos, y $4!$ entre los rusos. Cómo se puede encontrar el número de clasificaciones posibles si todos los atletas estadounidenses ganan a todos los rusos?
Mi consejo es simplificar el problema y luego generalizar el mecanismo (esto ayuda con muchos problemas de combinatoria). En otras palabras, cambia el problema para que tengas, digamos, 7 rangos posibles, y menos atletas. Y piensa en los rangos como cajas en las que puedes colocar a los atletas, con la restricción de que algunos de ellos (los estadounidenses) siempre están por delante de otros (los rusos). Después de hacer esto, deberías descubrir cómo funciona, y entonces podrás aplicarlo a tu problema original.
Alinea a los 5 americanos y a los 4 rusos. Podemos pensar en estas 9 personas como divisores, y luego hay $\binom {12}{3}$ maneras de distribuir a los 3 atletas franceses entre estos divisores. Esto deja 13 huecos en los que se puede colocar el alemán, por lo que la respuesta debería ser $13\binom{12}{3}$ .
Este es otro enfoque:
Colorea 3 bolas rojas, 1 bola negra y 9 bolas verdes; estas pueden ser dispuestas en $\displaystyle\frac{13!}{9!3!}$ formas. (Las 5 primeras bolas verdes corresponden a los americanos y las 4 restantes a los rusos).
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