Problemas para resolver una ecuación de números complejos

Question

Estoy luchando por probar esta pregunta, ¡una ayuda es muy apreciada!

Si $a=cis(\pi/5)$ demostrar que..: $$a^7=-a^2$$ y $$a^9=-a^4$$

Answer 1

Nota $\text{cis}(\theta )= e^{i\theta}$ . Así que,

$$a^7+a^2= e^{i \frac {7\pi}{5}}+e^{i \frac{2\pi}{5}}=e^{i \frac{2\pi}{5}}(e^{i\pi}+1)=0$$

donde $e^{i\pi} =-1$ . De la misma manera,

$$a^9+a^4=e^{i \frac{4\pi}{5}}(e^{i\pi}+1)=0$$

Answer 2

Reescribir utilizando la fórmula de Euler, que establece que $e^{i\theta}=i\sin\theta+\cos\theta.$ La primera ecuación equivale a $a^7+a^2=0.$ Utilizando la fórmula de Euler se obtiene $a^7+a^2= (e^{i\frac\pi5})^7+(e^{i\frac\pi5})^2=e^{\pi+2i\frac\pi5}+e^{2i\frac\pi5}=-e^{\pi+2i\frac\pi5}+e^{2i\frac\pi5}=0,$ según sea necesario.

Del mismo modo, se puede demostrar que la segunda ecuación es cierta.

$$a^9+a^4=(e^{i\frac\pi5})^9+(e^{i\frac\pi5})^4=e^{\pi+4i\frac\pi5}+e^{4i\frac\pi5}=-e^{4i\frac\pi5}+e^{4i\frac\pi5}=0.$$

Obsérvese que esta respuesta puede utilizarse para demostrar una identidad, es decir, el hecho de que $(cis(\frac\pi a))^x+(cis(\frac\pi a))^{x-a}=0,$ lo que equivale a decir $(cis(\frac\pi a))^a=-1.$

Answer 3

Pensemos en ello geométricamente. $\frac{7 \pi}{5}$ y $\frac{2\pi}{5}$ difieren en $\pi$ y lo mismo ocurre con $\frac{9 \pi}{5}$ y $\frac{4\pi}{5}$ .

Geométricamente, esto significa que en el plano complejo, $e^{ i\frac{7 \pi}{5}}$ y $e^{i \frac{2\pi}{5}}$ apuntan en direcciones opuestas. Escrito algebraicamente, tenemos $e^{ i\frac{7 \pi}{5}} = - e^{i \frac{2\pi}{5}}$ o $a^7 = - a^2$ .

De la misma manera, $e^{i \frac{9 \pi}{5}}$ y $e^{i \frac{4\pi}{5}}$ apuntan en direcciones opuestas, por lo que $e^{i \frac{9 \pi}{5}} = - e^{i \frac{4\pi}{5}}$ o $a^9 = - a^4$ .