El estado ortogonal a un estado simétrico debe ser antisimétrico

Question

Estoy trabajando en la simetría de intercambio de los estados propios del operador de momento angular total de un sistema de dos bosones de espín 1.

Sé que debe haber un quinteto, un triplete y un estado singlete.

El estado más alto del quinteto es $|\uparrow\rangle |\uparrow\rangle$ y es simétrica bajo el intercambio de partículas.

La aplicación del operador de descenso en este estado genera el quinteto completo. Como el operador de descenso es simétrico, todos los estados del quinteto son simétricos.

Utilizando la ortogonalidad de los estados, se puede deducir el estado más alto del triplete. Aplicando sucesivamente el operador de descenso se genera el triplete completo.

**Mi problema es: Cómo se demuestra que los estados de los trillizos son antisimétricos, dado que los estados de los quintetos son simétricos.**

Dicho de forma más general, si el Estado $|\Psi\rangle $ es simétrico bajo el intercambio de partículas y el estado $|\Phi\rangle$ es tal que $\langle \Psi | \Phi \rangle=0$ ¿se puede demostrar que $|\Phi\rangle$ es antisimétrico?

Answer 1

De hecho, como se ha dicho $$\langle \Phi\vert \Psi\rangle =0 \tag{1} $$ no implica que una sea simétrica y la otra antisimétrica. El acoplamiento $1\otimes 1=2\oplus 1\oplus 0$ y el estado con $L=0$ es ortogonal a todas las $L=2$ estados, pero también es simétrico, v.g. con $\vert \Phi\rangle=\vert 2,0\rangle$ y $\vert\Psi\rangle=\vert 0,0\rangle$ entonces ambos son simétricos, pero (1) sigue siendo válido.

Answer 2

Lo estás pensando demasiado; ¿no lo hiciste en clase?

Para tu ejemplo concreto, lo ves. Ignorando las normalizaciones, $ |\uparrow\rangle |\uparrow\rangle$ se reduce en $J_-$ a $|\uparrow\rangle | 0\rangle+ |0\rangle |\uparrow\rangle$ y así sucesivamente, como usted ha indicado. Pero este estado es ortogonal a $|\uparrow\rangle | 0\rangle - |0\rangle |\uparrow\rangle$ que es antisimétrico, por lo que it es aniquilado por $J_+$ , por lo que es el estado de espín más alto del triplete.

Bajarlo una y dos veces producirá igualmente estados antisimétricos.

El singlete, $|\uparrow\rangle | \downarrow\rangle + | \downarrow\rangle|\uparrow\rangle - |0\rangle | 0\rangle$ será simétrica.