Estaba estudiando algunos espacios de cobertura y la noción de grafo apareció de una manera que nunca antes había visto:
Para definir la idea de un gráfico, partamos de un conjunto discreto de puntos $G^0$ serán los vértices del gráfico. Entonces vamos a crear un conjunto $G^1$ de espacios $J_i$ homeomorfo a $[0,1]$ . Estos espacios se llamarán aristas del grafo. Por convención definamos que $u_i$ ( $v_i$ ) es el punto de $J_i$ que se identifica con $0$ ( $1$ ) en este homeomorfismo. Un gráfico $G$ es el conjunto $G = G^0 \sqcup G^1 / \sim$ , donde $\sim$ es la relación que toma puntos en $\partial J_i$ para todos $i$ y los identifica con elementos de $G^0$ . La topología en $G$ será la que satisfaga $$A \subset G \textrm{ is open in } G \iff A \cup J_i \textrm{ is open in } J_i \textrm{ for all } i.$$
Casi inmediatamente el texto introduce la noción de grafos y circuitos conectados.
Un grafo es conexo si para dos vértices cualesquiera $g,h \in G^0$ hay un número finito de aristas distintas $J_1, \dots, J_n$ tal que $g \sim u_1$ y $h \sim v_n$ . Un circuito en un gráfico $G$ es un conjunto finito de aristas distintas $J_1, \dots, J_n$ tal que $v_i \sim v_{i+1}$ para todos $i < n$ y $v_n \sim u_1$ .
En principio, la definición de un árbol
Un árbol es un gráfico $G$ que está conectado y no contiene circuitos.
La cuestión principal es: ¿cómo demostrar que todo árbol es contráctil? Si el árbol es finito, la prueba se deduce fácilmente del hecho de que todo árbol tiene un vértice libre (es decir, un vértice que está conectado a una sola arista), estoy teniendo muchos problemas para llegar a una prueba para el caso infinito.
