Encontrar los extremos de $f(x,y) = sin(xy)$

Question

He calculado $f_{xy}(x,y) and f_{yx}(x,y)$ y al igualarlas se obtiene la expresión

$$tan(xy)=- \dfrac {xy}{2}$$

y equiparar $f_x(x,y)=0$ y $f_y(x,y)=0$ da $$xy=(2m+1)\dfrac{\pi}{2}$$

Estas son las expresiones que obtuve:

$$f_x(x,y) = y\cos(xy)$$

$$f_y(x,y) = x\cos(xy)$$

$$f_{xx}(x,y) = -y^2\sin(xy)$$

$$f_{yy}(x,y) = -x^2\sin(xy)$$

$$f_{xy}(x,y) = -2y\sin(xy)-xy^2\cos(xy)$$

$$f_{yy}(x,y) = -2x\sin(xy)-x^2y\cos(xy)$$

¿Cómo me muevo desde aquí?

Answer 1

En este caso no se necesitan las herramientas de cálculo, ya que tenemos una idea bastante clara de cómo el $\sin$ de la función de la empresa se ve así. Además, no estoy seguro de por qué necesitas derivadas parciales cruzadas.

$\sin(xy)$ tiene un valor máximo de $1$ en cada $n\in \mathbb{Z}$ $xy = \pi/2 + 2n\pi$ . Entonces, cada vez que tenga $y=\pi\frac{1+4n}{2x}$ Tendrás un máximo.